1 . 复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作，他以虚无缥缈的数字展示了人类数学最纯粹的浪漫．欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠，相关的内容是，欧拉公式:，其中表示虚数单位，是自然对数的底数．数学家泰勒对此也提出了相关公式:其中的感叹号!表示阶乘，试回答下列问题：
(1)试证明欧拉公式．
(2)利用欧拉公式，求出以下方程的所有复数解．
①；②；
(3)求出角度的倍角公式(用表示，)．

2 . 现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，.
(1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；
(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值；
(3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得.

3 . （1）计算；
（2）已知关于的方程有实数解，求纯虚数.

4 . 化简：，，，，，，，．

5 . （1）计算：；
（2）若复数为纯虚数，求的值．

6 . 在复平面内，复数对应的点为，i为虚数单位，且______．
从条件①；②为关于x的方程的一个根，且点位于第一象限；③，其中．选择一个填在横线上，并完成下列问题．（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求；
(2)若点Z为曲线（为的共轭复数）上的动点，求Z与之间距离的取值范围．

7 . 在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：，；，.已知复数z是方程的解.
(1)若，且（a，，i是虚数单位），求；
(2)若，复数，，且，，求t的取值范围.

8 . 已知函数，其中，证明：存在，且.的根的实部全部大于0.

9 . 已知复数，集合，集合，
(1)若使得（为虚单位），求的最小值；
(2)若当时，集合有两个子集．
①求的取值范围；
②求集合中复数对应点形成的复平面区域的面积．

10 . 在复平面内，复数，.
(1)当为纯虚数时，求复数；
(2)当时，复数对应的点记为点A，将点A绕着原点顺时针旋转到达点，求所对应的共轭复数.