1 . 设集合是一个非空数集,对任意,定义,称为集合的一个度量,称集合为一个对于度量而言的度量空间,该度量空间记为.
定义1:若是度量空间上的一个函数,且存在,使得对任意,均有:,则称是度量空间上的一个“压缩函数”.
定义2:记无穷数列为,若是度量空间上的数列,且对任意正实数,都存在一个正整数,使得对任意正整数,均有,则称是度量空间上的一个“基本数列”.
(1)设,证明:是度量空间上的一个“压缩函数”;
(2)已知是度量空间上的一个压缩函数,且,定义,,证明:为度量空间上的一个“基本数列”.
定义1:若是度量空间上的一个函数,且存在,使得对任意,均有:,则称是度量空间上的一个“压缩函数”.
定义2:记无穷数列为,若是度量空间上的数列,且对任意正实数,都存在一个正整数,使得对任意正整数,均有,则称是度量空间上的一个“基本数列”.
(1)设,证明:是度量空间上的一个“压缩函数”;
(2)已知是度量空间上的一个压缩函数,且,定义,,证明:为度量空间上的一个“基本数列”.
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2 . 已知函数,记().
(1)若,解不等式:;
(2)设为实数,当时,若存在实数,使得成立,求的取值范围;
(3)记(其中、均为实数),若对于任意的,均有,求正数的最小值及此时、的值.
(1)若,解不等式:;
(2)设为实数,当时,若存在实数,使得成立,求的取值范围;
(3)记(其中、均为实数),若对于任意的,均有,求正数的最小值及此时、的值.
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名校
解题方法
3 . 已知定义在的严格增函数与.若对任意实数,存在实数和,不等式恒成立,则实数的取值范围是______ .
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2024-01-13更新
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229次组卷
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2卷引用:上海市五爱高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
解题方法
4 . 设在二维平面上有两个点,它们之间的距离有一个新的定义为,这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.在初中时我们学过的两点之间的距离公式是,这样的距离称为欧几里得距离(简称欧氏距离)或直线距离.
(1)已知两个点的坐标为,,如果它们之间的曼哈顿距离不大于3,那么的取值范围是多少?
(2)已知两个点的坐标为,,如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2,那么的取值范围是多少?
(3)若点在函数图象上且,点的坐标为,求的最小值并说明理由.
(1)已知两个点的坐标为,,如果它们之间的曼哈顿距离不大于3,那么的取值范围是多少?
(2)已知两个点的坐标为,,如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2,那么的取值范围是多少?
(3)若点在函数图象上且,点的坐标为,求的最小值并说明理由.
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名校
解题方法
5 . 对于空间向量,定义,其中表示x,y,z这三个数的最大值.
(1)已知,.
①直接写出和(用含的式子表示);
②当,写出的最小值及此时的值;
(2)设,,求证:;
(3)在空间直角坐标系中,,,,点Q是内部的动点,直接写出的最小值(无需解答过程).
(1)已知,.
①直接写出和(用含的式子表示);
②当,写出的最小值及此时的值;
(2)设,,求证:;
(3)在空间直角坐标系中,,,,点Q是内部的动点,直接写出的最小值(无需解答过程).
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6 . 在平面直角坐标系中,定义为两点、的“切比雪夫距离”,又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作,给出下列四个命题,正确的是( )
A.对任意三点,都有; |
B.已知点和直线,则; |
C.到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形. |
D.定点、,动点满足,则点的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点. |
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2023-06-25更新
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904次组卷
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4卷引用:福建省厦门第一中学2022-2023学年高三五模数学试题
2023高三·全国·专题练习
名校
7 . 已知由实数组成的数组满足下面两个条件:
①;②.
(1)当时,求,的值;
(2)当时,求证;
(3)设,且,求证:.
①;②.
(1)当时,求,的值;
(2)当时,求证;
(3)设,且,求证:.
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解题方法
8 . 已知函数,
(1)当时.解不等式;
(2)记表示实数中的较大者.任意的,是否有恒成立?若是,请证明:否则,请说明理由.
(1)当时.解不等式;
(2)记表示实数中的较大者.任意的,是否有恒成立?若是,请证明:否则,请说明理由.
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名校
9 . 定义在正整数集上的函数,其最小值是( )
A. | B. | C. | D. |
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名校
解题方法
10 . 若,且对任意正整数n,均有,则称一个复数数列为“有趣的”.若存在常数C,使得对一切有趣的数列及任意正整数m,均有,则C的最大值为( )
A. | B.1 | C. | D. |
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2023-02-09更新
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709次组卷
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3卷引用:浙江省杭州市桐庐中学2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题
浙江省杭州市桐庐中学2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题(已下线)专题17 数列探索型、存在型问题的解法 微点1 数列探索型问题的解法河南省新乡市第二中学2024届高三上学期1月测试数学试题