1 . 在数列中，若对任意的，都有成立，则称数列为“差增数列”．
(1)试判断，是否为“差增数列”，并说明理由；
(2)若数列为“差增数列”，且，，对于给定得正整数，求使得的前项的和最小时，的通项公式；
(3)若数列为“差增数列”，且，，且，求证：．

2 . 设是定义在上且满足下列条件的函数构成的集合：
①方程有实数解；
②函数的导数满足．
（1）试判断函数是否集合的元素，并说明理由；
（2）若集合中的元素具有下面的性质：对于任意的区间，都存在，使得等式成立，证明：方程有唯一实数解．
（3）设是方程的实数解，求证：对于函数任意的，当，时，有．

3 . 已知数列满足：，，其中，.
（1）若、、成等差数列，求的值；
（2）若，求数列的通项；
（3）若对任意正整数，都有，求的最大值.

4 . 设数列的通项公式为．数列定义如下：对于正整数是使得不等式成立的所有中的最小值.
（1）若，，求；
（2）若，，求数列的前项和公式；
（3）是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由．

5 . 设集合由满足下列两个条件的数列构成:①②存在实数使得对任意正整数都成立.
(1)现在给出只有5项的有限数列试判断数列是否为集合的元素；
(2)设数列的前项和为且若对任意正整数点均在直线上，证明:数列并写出实数的取值范围；
(3)设数列若数列没有最大值，求证:数列一定是单调递增数列．

6 . 已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意给定的，是否存在（）使成等差数列？若存
在，用分别表示和（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．

7 . 对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断g（x）=2^x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；
（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）为理想函数，假设存在x₀∈[0，1]满足f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

8 . 设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数使对任意正整数都成立.
（1）现在给出只有5项的有限数列其中；试判断数列是否为集合的元素；
（2）数列的前项和为且对任意正整数点在直线上，证明：数列并写出实数的取值范围；
（3）设数列且对满足条件②中的实数的最小值都有求证：数列一定是单调递增数列.

9 . 设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．
考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．
（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；
（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．