为了对新产品进行合理定价,对该产品进行了试销试验,以观察需求量(单位:件)对于价格(单位:万元)的反应,得到数据如下:
(1)在所给定的坐标系中画出散点图;
(2)若与之间具有线性相关关系,求线性回归方程;
(3)若需求量为件时,总成本为(万元),试由(2)的结论预测要使利润最大,价格应定为多少万元?
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式:,.
(万元) | |||||
(件) |
(2)若与之间具有线性相关关系,求线性回归方程;
(3)若需求量为件时,总成本为(万元),试由(2)的结论预测要使利润最大,价格应定为多少万元?
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式:,.
更新时间:2020-07-20 09:10:36
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【推荐1】在测量一根新弹簧的劲度系数时,测得了如表的结果:
(1)请画出上表所给数据的散点图;
(2)弹簧长度与所挂重量之间的关系是否具有线性相关性,若具有请根据上表提供的数据,求出关于的线性回归方程;
(3)根据回归方程,求挂重量为的物体时弹簧的长度.所求的长度是弹簧的实际长度吗?为什么?
所挂重量 | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 9 |
弹簧长度 | 11 | 12 | 12 | 13 | 14 | 16 |
(1)请画出上表所给数据的散点图;
(2)弹簧长度与所挂重量之间的关系是否具有线性相关性,若具有请根据上表提供的数据,求出关于的线性回归方程;
(3)根据回归方程,求挂重量为的物体时弹簧的长度.所求的长度是弹簧的实际长度吗?为什么?
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【推荐2】在物理实验中,为了研究所挂物体的重量对弹簧长度的影响.某学生通过实验测量得到物体的重量与弹簧长度的对比表:
(1)画出散点图;
(2)利用公式(公式见卷首)求对的回归直线方程;
(3)预测所挂物体重量为时的弹簧长度.
物体重量(单位) | |||||
弹簧长度(单位) |
(1)画出散点图;
(2)利用公式(公式见卷首)求对的回归直线方程;
(3)预测所挂物体重量为时的弹簧长度.
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解题方法
【推荐1】随着时代的不断发展,社会对高素质人才的需求不断扩大,我国本科毕业生中考研人数也不断攀升,2020年的考研人数是341万人,2021年考研人数是377万人.某中学数学兴趣小组统计了本省15所大学2022年的毕业生人数及考研人数(单位:千人),经计算得:,,,.
(1)利用最小二乘估计建立关于的线性回归方程;
(2)该小组又利用收集的数据建立了关于的线性回归方程,并把这两条拟合直线画在同一坐标系下,横坐标,纵坐标的意义与毕业人数和考研人数一致.
①比较前者与后者的斜率与的大小;
②求这两条直线公共点的坐标.
附:关于的回归方程中,斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,;
相关系数:.
(1)利用最小二乘估计建立关于的线性回归方程;
(2)该小组又利用收集的数据建立了关于的线性回归方程,并把这两条拟合直线画在同一坐标系下,横坐标,纵坐标的意义与毕业人数和考研人数一致.
①比较前者与后者的斜率与的大小;
②求这两条直线公共点的坐标.
附:关于的回归方程中,斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,;
相关系数:.
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【推荐2】中国是世界上沙漠化最严重的国家之一,沙漠化造成生态系统失衡,可耕地面积不断缩小,对中国工农业生产和人民生活带来严重影响.随着综合国力逐步增强,西北某地区大力兴建防风林带,引水拉沙,引洪淤地,开展了改造沙漠的巨大工程,该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元,从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元,近4年投入的沙漠治理经费(亿元)和沙漠治理面积(万亩)的相关数据如下表所示:
(1)通过绘制散点图看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;(结果保留3位小数)
(2)建立关于的线性回归方程,并预测2025年该地区沙漠治理面积是否可突破100万亩.
参考公式:相关系数,线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,.
参考数据:,,,,.
年份 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
2 | 3 | 4 | 5 | |
26 | 39 | 49 | 54 |
(2)建立关于的线性回归方程,并预测2025年该地区沙漠治理面积是否可突破100万亩.
参考公式:相关系数,线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,.
参考数据:,,,,.
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【推荐1】某高科技公司对其产品研发年投资额x(单位:百万元)与其年销售量y(单位:千件)的数据进行统计,整理后得到如下统计表和散点图.
(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后,计划分别用①和②两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型,请根据统计表的数据,确定方案①和②的经验回归方程;(注:系数b,a,d,c按四舍五入保留一位小数)
(2)根据下表中数据,用相关指数(不必计算,只比较大小)比较两种模型的拟合效果哪个更好,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测当研发年投资额为8百万元时,产品的年销售量是多少?
参考公式及数据:,,
,
,.
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 0.5 | 1 | 1.5 | 3 | 6 | 12 |
-0.7 | 0 | 0.4 | 1.1 | 1.8 | 2.5 |
(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后,计划分别用①和②两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型,请根据统计表的数据,确定方案①和②的经验回归方程;(注:系数b,a,d,c按四舍五入保留一位小数)
(2)根据下表中数据,用相关指数(不必计算,只比较大小)比较两种模型的拟合效果哪个更好,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测当研发年投资额为8百万元时,产品的年销售量是多少?
经验回归方程 残差平方和 | ||
18.29 | 0.65 |
,
,.
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【推荐2】某互联网公司为了确定下季度的前期广告投人计划,收集了近6个月广告投入量(单位:万元)和收益(单位:万元)的数据如表:
他们用两种模型①,②分别进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,得到如图所示的残差图及一些统计量的值.
(1)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应选择哪个模型拟合?并说明理由;
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据,需要剔除.
(i)剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程;
(ii)若广告投入量时,(1)中所选模型收益的预报值是多少?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
广告投入量 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
收益 | 14.21 | 20.31 | 31.8 | 31.18 | 37.83 | 44.67 |
7 | 30 | 1464.24 | 364 |
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据,需要剔除.
(i)剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程;
(ii)若广告投入量时,(1)中所选模型收益的预报值是多少?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
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【推荐3】“海水稻”就是耐盐碱水稻,是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区,具有耐盐碱的水稻,它比其它普通的水稻均有更强的生存竞争能力,具有抗涝,抗病虫害,抗倒伏等特点,还具有预防和治疗多种疾病的功效,防癌效果尤为显著.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度(‰)对亩产量(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现,可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系,用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.
(1)请你估计:当浇灌海水浓度为8‰时,该品种的亩产量.
(2)①完成上述残差表:
②统计学中,常用相关指数来刻画回归效果,越大,模型拟合效果越好,并用它来说明预报变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据,利用统计学的相关知识,说明浇灌海水浓度对亩产量的贡献率?(计算中数据精确到)
(附:残差公式,相关指数)
海水浓度(‰) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
亩产量(吨) | 0.62 | 0.58 | 0.49 | 0.4 | 0.31 |
残差 |
(2)①完成上述残差表:
②统计学中,常用相关指数来刻画回归效果,越大,模型拟合效果越好,并用它来说明预报变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据,利用统计学的相关知识,说明浇灌海水浓度对亩产量的贡献率?(计算中数据精确到)
(附:残差公式,相关指数)
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