某公司引进了三台生产性能完全相同的新设备生产某种产品，销售部根据每台设备的每月生产能力及当月每件产品的纯收入（一台设备当月生产的每件产品的纯收入相等）做了调查，得如下表格：
（1）设一台设备一个月生产产品的纯收入为
元，求的分布列及数学期望；
（2）若三台设备相互独立，求该公司一个月生产该产品所获得的总纯收入超过48000元的概率.
| 产量（件） | 300 | 400 |
| 概率 | 0.25 | 0.75 |
| 纯收（元/件） | 45 | 60 |
| 概率 | 0.4 | 0.6 |
元，求的分布列及数学期望；（2）若三台设备相互独立，求该公司一个月生产该产品所获得的总纯收入超过48000元的概率.
更新时间：2021-08-06 14:16:49
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【推荐1】现有三种基本电子模块
，电流能通过的概率都是p,电流能否通过各模块相互独立.已知中至少有一个能通过电流的概率为0.999.现由该电子模块组装成某预警系统M(如图所示），针对系统M而言，只要有电流通过该系统就能正常工作.
(Ⅰ)求p
(II)求预警系统M正常工作的概率
，电流能通过的概率都是p,电流能否通过各模块相互独立.已知中至少有一个能通过电流的概率为0.999.现由该电子模块组装成某预警系统M(如图所示），针对系统M而言，只要有电流通过该系统就能正常工作.(Ⅰ)求p
(II)求预警系统M正常工作的概率
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名校
【推荐2】高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为
，
，
，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为
．
(1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率；
(2)人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为
，当
时，取得最大值，求
；
(3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．
，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为．(1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率；
(2)人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为
，当时，取得最大值，求；(3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的
作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．
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解题方法
【推荐3】甲、乙、丙三台机床各自独立的加工同一种零件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的二倍.
（1）从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；
（2）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，求它是一等品的概率；
（3）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取4件检验，其中一等品的个数记为X，求EX.
（1）从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；
（2）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，求它是一等品的概率；
（3）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取4件检验，其中一等品的个数记为X，求EX.
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解题方法
【推荐1】电视剧《人民的名义》中有一个低矮的接待上访服务窗口，假设群众办理业务所需的时间互相独立，且都是10分钟的整数倍，对以往群众办理业务所需的时间统计结果如下：
假设排队等待办理业务的群众不少于3人，从第一个群众开始办理业务时开始计时．
(1)估计第三个群众恰好等待40分钟开始办理业务的概率；
(2)表示至第20分钟末已办理完业务的群众人数，求的分布列及数学期望．
| 办理业务所需的时间(分) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
| 频率 | 0.3 | 0.3 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
(1)估计第三个群众恰好等待40分钟开始办理业务的概率；
(2)
表示至第20分钟末已办理完业务的群众人数，求的分布列及数学期望．
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解题方法
【推荐2】某超市举办中秋节购物抽奖活动，进行购物现场抽奖，抽奖盒中装有20张大小相同的精美卡片，每张卡片上分别印有“一等奖”“二等奖”“三等奖”或“谢谢参与”四种字样中一种字样．抽奖规则：抽奖者从抽奖盒中任意抽取卡片一张，若抽到印有“
等奖(为一，二或三)”卡即可获得对应的奖品；若抽到印有“谢谢参与”即为不获奖；卡片用后放回盒子里，下一位抽奖者继续进行．
（1）活动开始前，一位抽奖者问：盒中共有几张“一等奖”“二等奖”“三等奖”卡片?超市主办方答：
①从盒中一次抽取两张卡片，两张卡片都不是“谢谢参与”的概率是
；
②若从盒中抽取一张卡片，则中“一等奖”比中“二等奖”的概率小
，中“二等奖”比中“三等奖”的概率小．
据此求抽奖盒中印有“一等奖”“二等奖”“三等奖”卡片的张数；
（2）在（1）条件下，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用表示获奖(“—等奖”“二等奖”“三等奖”)的人数，求的分布列及数学期望．
等奖(为一，二或三)”卡即可获得对应的奖品；若抽到印有“谢谢参与”即为不获奖；卡片用后放回盒子里，下一位抽奖者继续进行．（1）活动开始前，一位抽奖者问：盒中共有几张“一等奖”“二等奖”“三等奖”卡片?超市主办方答：
①从盒中一次抽取两张卡片，两张卡片都不是“谢谢参与”的概率是
；②若从盒中抽取一张卡片，则中“一等奖”比中“二等奖”的概率小
，中“二等奖”比中“三等奖”的概率小．据此求抽奖盒中印有“一等奖”“二等奖”“三等奖”卡片的张数；
（2）在（1）条件下，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用
表示获奖(“—等奖”“二等奖”“三等奖”)的人数，求的分布列及数学期望．
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名校
【推荐3】某校所在省市高考采用新高考模式，学生按“
”模式选科参加高考：“3”为全国统一高考的语文､数学､外语3门必考科目；“1”由考生在物理､历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治､地理､化学､生物学4门中选考2门科目.
(1)为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750位学生中随机抽样调查了100位学生，得到如下部分数据分布：
请在答题卡的本题表格中填好上表中余下的5个空，并判断是否有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关；
(2)记已选物理方向的甲､乙两同学在“4选2”的选科中所选的相同的选科门数为
，求的分布列及数学期望.
附：
，
.
”模式选科参加高考：“3”为全国统一高考的语文､数学､外语3门必考科目；“1”由考生在物理､历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治､地理､化学､生物学4门中选考2门科目.(1)为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750位学生中随机抽样调查了100位学生，得到如下部分数据分布：
| 选物理方向 | 选历史方向 | 合计 | |
| 男生 | 30 | 40 | |
| 女生 | |||
| 合计 | 50 | 100 |
(2)记已选物理方向的甲､乙两同学在“4选2”的选科中所选的相同的选科门数为
，求的分布列及数学期望.附：
，. | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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(0.65)
【推荐1】已知某盒子中共有
个小球，编号为
号至号，其中有
个红球、
个黄球和个绿球，这些球除颜色和编号外完全相同．
（1）若从盒中一次随机取出个球，求取出的个球中恰有个颜色相同的概率；
（2）若从盒中逐一取球，每次取后立即放回，共取
次，求恰有次取到黄球的概率；
（3）若从盒中逐一取球，每次取后不放回，记取完黄球所需次数为，求随机变量的分布列及数学期望
.
个小球，编号为号至号，其中有个红球、个黄球和个绿球，这些球除颜色和编号外完全相同．（1）若从盒中一次随机取出
个球，求取出的个球中恰有个颜色相同的概率；（2）若从盒中逐一取球，每次取后立即放回，共取
次，求恰有次取到黄球的概率；（3）若从盒中逐一取球，每次取后不放回，记取完黄球所需次数为
，求随机变量的分布列及数学期望.
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解答题-问答题
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(0.65)
名校
解题方法
【推荐2】甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是
，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选.
(1)求甲恰有2个题目答对的概率；
(2)求乙答对的题目数的分布列及数学期望；
，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选.(1)求甲恰有2个题目答对的概率；
(2)求乙答对的题目数
的分布列及数学期望；
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解答题-应用题
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适中
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名校
解题方法
【推荐3】中日围棋擂台赛是由中国围棋队与日本围棋队各派若干名棋手，以擂台制形式举行的围棋团体赛.这是中国和国外开设的最早的围棋对抗赛，由中国围棋协会、日本棋院和中国《新体育》杂志社联合举办，日本电器公司（NEC）赞助，因此也称NEC杯中日围棋擂台赛.该赛事从1984年开始至1996年停办，共进行了11届，结果中国队以7比4的总比分获胜.该赛事对中国围棋甚至世界围棋发展产生了很大影响，被认为是现代围棋最成功的比赛之一.中日围棋擂台赛由中日双方各派同样数量的若干名棋手组成队伍，两队各设一名主帅，采用打擂台的形式，决出最后的胜负.比赛事先排定棋手的上场顺序（主帅最后上场），按顺序对局，胜者坐擂，负方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帅”被击败为止.设中、日两国围棋队各有
名队员，按事先排好的顺序进行擂台赛，中国队的名队员按出场的先后顺序记为
；日本队的名队员按出场的先后顺序记为
.假设
胜
的概率为
（
为常数）.
(1)当
时，若每个队员实力相当，求中国队有四名队员被淘汰且最后战胜日本队的概率；
(2)记中国队被淘汰
人且中国队获得擂台赛胜利的概率为
，求的表达式；
(3)写出中国队获得擂台赛胜利的概率
的表达式（不用说明理由）.
名队员，按事先排好的顺序进行擂台赛，中国队的名队员按出场的先后顺序记为；日本队的名队员按出场的先后顺序记为.假设胜的概率为（为常数）.(1)当
时，若每个队员实力相当，求中国队有四名队员被淘汰且最后战胜日本队的概率；(2)记中国队被淘汰
人且中国队获得擂台赛胜利的概率为，求的表达式；(3)写出中国队获得擂台赛胜利的概率
的表达式（不用说明理由）.
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解题方法
【推荐1】国庆期间，某市文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应.下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格
（单位：元）与购买人数
（单位：万人）的数据如下表：
在分析数据、描点绘图中，发现散点
集中在一条直线附近，其中
，
.
(1)根据所给数据，求关于的回归方程；
(2)根据（1）中建立的模型进行预测，当购买数量与套票价格的比在区间
上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”.现有四位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的四款各自旅游.记四人中购买“热门套票”的人数为，求随机变量的分布列和期望.
附：①可能用到的数据：
，
，
，
.
②对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计值分别为
，
.
（单位：元）与购买人数（单位：万人）的数据如下表：旅游类别 | 城市展馆科技游 | 乡村特色游 | 红色景点游 | 登山套票 | 游园套票 | 观海套票 |
套票价格 | 39 | 49 | 58 | 67 | 77 | 86 |
购买数量 | 16.7 | 18.7 | 20.6 | 22.5 | 24.1 | 25.6 |
集中在一条直线附近，其中，.(1)根据所给数据，求
关于的回归方程；(2)根据（1）中建立的模型进行预测，当购买数量
与套票价格的比在区间上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”.现有四位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的四款各自旅游.记四人中购买“热门套票”的人数为，求随机变量的分布列和期望.附：①可能用到的数据：
，，，.②对于一组数据
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，.
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解题方法
【推荐2】学校进行足球专项测试考核，考核分“定位球传准”和“20米运球绕杆射门”两个项目.规定：“定位球传准”考核合格得4分，否则得0分；“20米运球绕杆射门”考核合格得6分，否则得0分.现将某班学生分为两组，一组先进行“定位球传准”考核，一组先进行“20米运球绕杆射门”考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明“定位球传准”考核合格的概率为0.8，“20米运球绕杆射门”考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.
(1)若小明先进行“定位球传准”考核，记为小明结束考核后的累计得分，求的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.
(1)若小明先进行“定位球传准”考核，记
为小明结束考核后的累计得分，求的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.
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解答题-应用题
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名校
【推荐3】某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中1班和2班进入最终的决赛．决赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得1分，答错或不答都得0分．已知1班的三名队员答对的概率分别为
、
、
，班的三名队员答对的概率都是，每名队员回答正确与否相互之间没有影响．用、
分别表示1班和2班的总得分．
(1)求随机变量、的数学期望
；
(2)若
，求2班比1班得分高的概率．
、、，班的三名队员答对的概率都是，每名队员回答正确与否相互之间没有影响．用、分别表示1班和2班的总得分．(1)求随机变量
、的数学期望；(2)若
，求2班比1班得分高的概率．
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