【推荐1】在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点（在轴上方），且.设点在轴上的射影为，三角形的面积为2（如图1）.
(1)求椭圆的方程；
(2)设平行于的直线与椭圆相交，其弦的中点为.
①求证：直线的斜率为定值；
②设直线与椭圆相交于两点， （在轴上方），点为椭圆上异于， ， 一点，直线交于点， 交于点，如图2，求证： 为定值.

【推荐2】已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程．

【推荐3】已知椭圆的方程是，椭圆的左顶点为，离心率，倾斜角为的直线与椭圆交于、两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设向量（），若点在椭圆上，求的取值范围．

【推荐1】设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若，求实数的取值范围.

【推荐2】已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，，其中点P在椭圆C上，O为坐标原点，求的取值范围．

【推荐3】已知是椭圆：的右焦点，也是抛物线的焦点，点P为与在第一象限的交点，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆的左、右顶点分别为，过的直线交于两点，记△、△的面积分别为，求的取值范围．