【推荐1】图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有两条的为第二层，以此类推，竖直线段有条的为第层，每一层的竖直通道从左到右分别称为第1通道、第2通道，……，现在有一个小球从入口向下（只能向下，不能向上）运动，小球在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．小球到达第层第通道的不同路径数称为，如小球到达第二层第1通道和第二层第2通道的路径都只有一种情况，因此，.

求：（1），，；
（2），以及小球到达第5层第2通道的概率；
（3）猜想，并证明；
（4）猜想（不用证明）．

【推荐2】从函数角度看，可以看成以r为自变量的函数，其定义域是．
(1)画出函数的图象；
(2)求证：；
(3)试利用（2）的结论来证明：当n为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大．

【推荐3】如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为，求的值.
   

【推荐1】设的展开式中，第二项与第四项的系数比为，试求项的系数.

【推荐2】已知展开式的前三项的二项式系数之和为22，所有项的系数之和为1．
(1)求n和a的值；
(2)展开式中是否存在常数项？若有，求出常数项；若没有，请说明理由．

【推荐3】已知的展开式的系数和比的展开式的二项式系数和大，求的展开式中：
（1）二项式中的常数项；
（2）系数小于的项．

【推荐1】设，求：
(1)；
(2).

【推荐2】设.
（1）求的值；
（2）求除以9的余数.

【推荐3】已知 ，的展开式中x的系数为11．
(1)求的系数取最小值时n的值；
(2)当的系数取得最小值时，求展开式中x的奇次幂项的系数之和．

【推荐1】若的展开式的二项式系数和为128．
（1）求的值;
（2）求展开式中的常数项;
（3）求展开式中二项式系数的最大项．

【推荐2】已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数.
(1)求的值；
(2)若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数.

【推荐3】已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240.
(1)求n的值及展开式中所有含x的有理项的个数；
(2)求展开式中系数最小的项．