【推荐2】（1）已知：及，（，，．求；（结果用，表示）
（2）已知，．猜想的表达式并用数学归纳法证明你的结论．

【推荐3】已知数列满足：，，.
（1）化简：（结果用表示）.
（2）求证：，.

【推荐1】设，求证：

【推荐2】二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求：
(1)展开式中所有二项式系数的和；
(2)展开式中所有的有理项．

【推荐3】已知各项均为不为零的数列满足，前项的和为，且，，，数列满足，.
（1）求，；
（2）求；
（3）设有穷数列，的前项和为，是否存在，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

【推荐1】如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为，求的值.
   

【推荐2】在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．
第0行                              1
第1行                            1   1
第2行                           1   2   1
第3行                         1   3   3   1
第4行                       1   4   6   4   1
第5行                    1   5   10   10   5   1
第6行                 1   6   15   20   15   6   1
（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（2）已知n，r为正整数，且，求证：任何四个相邻的组合数不能构成等差数列．

【推荐3】如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，···，记其前n项和为S_n，求S₁₉的值.