【推荐2】2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，某市经过初次选拔后有小明，小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明成功解出这道题的概率是，小明，小红两名同学都解答错误的概率是，小王、小红两名同学都成功解出的概率是，这三名同学解答是否正确相互独立.
(1)分别求出小王，小红两名同学成功解出这道题的概率；
(2)求三人中至少有两人成功解出这道题的概率．

【推荐3】无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
(1)消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：

	晴天	雨天
命中	45	30
不命中	5	20

(2)某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为 每次投弹是否击中目标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 击中目标两次起火点被扑灭的概率为 击中目标三次起火点必定被扑灭．
（i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；
（ii） 求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
附： 其中

α	0.15	0.10	0.05	0.010	0.001
	2.072	2.706	3.841	6.635	10.828

【推荐1】某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）按照分层抽样，从和中随机抽取了名学生.现从已抽取的名学生中随机推荐名学生参加体能测试.记推荐的名学生来自的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求(精确到).
参考数据：当时，，，.
参考数据：   .

【推荐2】某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数．
(1)若有放回的抽取，求X的分布列与期望；
(2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率．

【推荐1】某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”.
方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度.
(1)求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率
(2)若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式一回答问卷的人数，求的数学期望；
(3)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.

【推荐2】某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课程互不影响.已知学生小张只选修甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门的概率是，用表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
（1）求学生小张选修甲的概率；
（2）记“函数为上的偶函数”为事件，求事件的概率.

【推荐3】为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0.据统计可知甲班3名参赛学生的情况如下表：

学生
获胜概率	0.4	0.6	0.8
获胜积分	6	5	4

(1)求甲班至少获胜2场的概率；
(2)记甲班获得积分为，求的分布列与数学期望．

【推荐1】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，，三类问题，每位参加比赛的同学先在三类问题中随机选择一类，并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从剩下的两类问题中随机选择一类并从中抽取一个问题回答，回答错误则该同学比赛结束；若回答正确，则从剩下的最后一类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分．已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，能正确回答类问题的概率为0.7．且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的期望．
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

【推荐2】为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验．为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．

分数
甲班频数	5	6	4	4	1
乙班频数	1	3	6	5	5

(1)由以上统计数据填写下面列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为“成绩优良与教学方式有关”？

	甲班	乙班	总计
成绩优良
成绩不优良
总计

附：，其中．
临界值表

	0.10	0.05	0.010	0.005
	2.706	3.841	6.635	7.879

(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．