【推荐1】已知，动点满足,设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线与曲线交于两点，若点，求证：为定值.

【推荐2】已知圆：，点，C为圆上任意一点，点P在直线C上，且满足，点P的轨迹为曲线E．
求曲线E的方程；
若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围．

【推荐3】在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与轨迹交于，两点，判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.

【推荐1】已知椭圆：的长轴长为，离心率为，过右焦点且与轴不垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，点M的坐标为，记直线，的斜率分别为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，求直线的方程；
(3)求证：为定值．

【推荐2】椭圆与双曲线之间有许多优美的对称性质，已知椭圆和双曲线
(1)设AB是双曲线的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为弦AB的中点，O为坐标原点，则为定值.类比双曲线的性质：若AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，试猜想的值，并证明；
(2)设椭圆交x轴于A，B两点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，则为定值，类比椭圆的性质：若双曲线交x轴于A，B两点，点P是双曲线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，试猜想的值，并证明.

【推荐3】已知椭圆，点，直线分别交椭圆于点，（与不重合）.
（1）证明：；
（2）若以点为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.