【推荐1】如图：已知三点、、都在椭圆上．

(1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积；
(2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；
(3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中,长度为2的线段EF的两端点E、F分别在两坐标轴上运动.
(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与轴交于两点,P是轨迹C上异于的任意一点,直线交直线于M点,直线交直线于N点,求证:以MN为直径的圆C总过定点,并求出定点坐标.

【推荐3】已知双曲线
(1)过点的直线与双曲线交于两点，若点N是线段的中点，求直线的方程；
(2)直线l：与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程.

【推荐1】已知椭圆的短轴长为，其离心率为，已知双曲线的渐近线方程为，其离心率为，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知椭圆C的左焦点为F，过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆相交于A，B两点，线段的中垂线分别交x轴､y轴于M，N两点，求的取值范围.

【推荐2】如图，已知椭圆，以该椭圆上的异于长轴端点的点和椭圆的左，右焦点，为顶点的三角形的周长为，以椭圆的四个顶点组成的菱形的面积为，双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，．

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，探求与的关系；
(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且的周长是．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在斜率为1的直线与椭圆交于，两点，使得以为直径圆过原点，若存在写出直线方程；
(3)设圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率的取值范围．

【推荐1】已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．

(1)求C的方程；
(2)记C的右顶点为A，过点A作直线MA，NA与C的左支交于M，N两点，且，，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值，并求出Q点坐标．

【推荐2】过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，且．
(1)求双曲线的方程．
(2)已知点，两个不重合的动点，在双曲线上，直线，分别与轴交于点，，点在直线上，且，试问是否存在定点，使得为定值？若是，求出点的坐标和；若不存在，请说明理由．

【推荐3】数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线的实轴长为，其蒙日圆方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设点关于坐标原点的对称点为，不过点且斜率为的直线与双曲线相交于两点，直线与交于点，求直线的斜率值.