【推荐1】在平面直角坐标系中，已知的顶点、，为动点，且.记动点的轨迹为曲
（I）求曲线的方程；
（II）设是既不与平行也不与垂直的直线，且原点到直线的距离为，与曲线相交于不同的两点、，问的值是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是，请说明理由.

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若轨迹C的左，右顶点分别为，，点为轨迹C上异于，的一个动点，直线，分别与直线相交于S，T两点，以ST为直径的圆与x轴交于M，N两点，求四边形SMTN面积的最小值.

【推荐3】已知圆，圆，动圆与已知两圆都外切.
（1）求动圆的圆心的轨迹的方程；
（2）直线与点的轨迹交于不同的两点、，的中垂线与轴交于点，求点的纵坐标的取值范围.

【推荐1】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐2】平面直角坐标系中，双曲线过点，且该双曲线虚轴长为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)设过点的直线l与E的左支交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点．
①求直线l的斜率k的取值范围；
②求|TP|＋|TQ|的取值范围．

【推荐3】某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，两个信号源相距10米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号早秒（注：信号每秒传播米），在时刻时，测得机器鼠距离点为4米.

(1)以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？