【推荐1】如图，在圆柱O₁O₂内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O₁O₂的体积为V₁，表面积为S₁，球O的体积为V₂，表面积为S₂，则的值是__________，________.

【推荐2】已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为______．

【推荐3】在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高，，，现将沿着CH折起，使得点B到达点，且平面平面ACH，则三棱锥的外接球的表面积为___________.

【推荐1】已知平面内一正六边形的边长为，中心为点将该正六边形沿对角线折成二面角，则当二面角的平面角余弦值为时，三棱锥的外接球表面积为________________．

【推荐2】已知圆台的轴截面是等腰梯形，，，，圆台的底面圆周都在球的表面上．记圆台的体积为，球的体积为，则__________．

【推荐3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的体积为_________.

【推荐1】刘徽是中国古代著名的数学家，他通过“牟合方盖”解决了球体体积计算的难题，其中一段记载：“今有方锥，下方八尺，高八尺，问：积几何？术曰：下方自乘，以高乘之，三而一，若以立圆外接，问积几何？”意思是：“假设有一个正四棱锥（底面是正方形，并且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥），下底边长是8尺，高8尺，则它的体积是多少？方法是：下底边长自乘，以高乘之，再除以3.若这个正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的体积是__________立方尺.”

【推荐2】暂堵､阳马､鳖臑出自中国古代名著《九章算术.商功》，其中阳马.鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼，取一长方体，如图长方体，沿平面斜切，一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵.再沿平面切开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥以矩形为底，棱与底面垂直，称为阳马，余下的三棱锥是四个面都是直角三角形的四面体，称为鳖臑.已知长方体中，，，，按以上操作得到阳马，则该阳马的最长棱长为___________.
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【推荐3】古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现.如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为_______.