【推荐1】已知各项均为正数的数列的前项和为，向量，向量，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意正整数都有成立，求．

【推荐2】已知数列的前项和，数列满足，且．
（1）求，的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，，证明：．

【推荐3】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答
问题：设数列的前项和为，且___________，，的前项和
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

【推荐1】若存在常数，使得数列满足对一切恒成立，则称为“可控数列”.
(1) 若数列的通项公式为，试判断数列是否为“可控数列”？并说明理由；
(2) 若是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3) 若“可控数列”的首项为2，，求不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)

【推荐2】已知数列为等差数列，数列满足，若，.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设数列前n项积为，若当且仅当时，取得最大值，求实数t的取值范围.

【推荐3】若数列{a_n}满足：，且a₁=1，则称{a_n}为一个X数列．对于一个X数列{a_n}，若数列{b_n}满足：b₁=1，且，，则称{b_n}为{a_n}的伴随数列．
（Ⅰ）若X数列{a_n}中a₂=1，a₃=0，a₄=1，写出其伴随数列{b_n}中b₂，b₃，b₄的值；
（Ⅱ）若{a_n}为一个X数列，{b_n}为{a_n}的伴随数列，证明：“{a_n}为常数列”是“{b_n}为等比数列”的充要条件.