【推荐1】已知椭圆经过点，离心率，直线与椭圆交于，两点，向量，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线过椭圆的焦点（为半焦距）时，求直线的斜率.

【推荐2】已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若为坐标原点，为椭圆上的任一点，点满足，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程.

【推荐3】如图所示，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.

（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）若求椭圆离心率的值.

【推荐1】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不过原点的直线与椭圆交于两点，已知，直线的斜率成等比数列，记以为直径的圆的面积分别为，试探究的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.

【推荐2】已知椭圆：过点，两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)设为第三象限内一点且在椭圆上，椭圆与轴正半轴交于B点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．

【推荐3】已知椭圆的左右焦点分别为，.过与轴垂直的直线与椭圆交于点，点在轴上方，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，是否存在一定点使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.