【推荐1】平面直角坐标系中，经过椭圆的一个焦点的直线与C相交于A、B两点，H为AB的中点，且OH的斜率为.

（1）求椭圆C的方程.
（2）直线过椭圆C的右焦点F且与椭圆C交于P、Q两点，点G为椭圆的左顶点，直线，连接GP、GQ并延长与直线分别交于点M、N，点、，且.求的取值范围.

【推荐2】已知椭圆C：的离心率为，且抛物线的准线恰好过椭圆的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值．

【推荐3】已知椭圆，直线过椭圆的一个焦点和一个顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的左顶点，，是椭圆上的两点，△的内切圆的方程为.
（i）求实数的值；
（ii）为椭圆的上顶点，椭圆上是否存在两点，，使得圆是△的内切圆？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

【推荐1】已知椭圆T：经过以下四个不同点中的某三个点：，，，．
（1）求椭圆T的方程；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标分别为，，点F是直线上的一个动点，且直线，分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A作与相切的两条直线，分别交椭圆C于P，Q两点，求证：直线恒过定点．

【推荐3】设是圆上的一动点，点在直线上线段的垂直平分线交直线于点．
（1）若点的轨迹为椭圆，则求的取值范围；
（2）设时对应的椭圆为，为椭圆的右顶点，直线与交于、两点，若，求面积的最大值．