学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后自主学习，人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好.某权威研究机构抽查了部分高中学生，对学生每天花在数学上的课后自主学习时间（
分钟）和他们的数学成绩（
分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了与正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到
，
，
的方差为350，
的相关系数
（
）.
(1)请根据所给数据求出
的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；
(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
.
分钟）和他们的数学成绩（分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了与正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到，，的方差为350，的相关系数（）. (1)请根据所给数据求出
的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.
编号 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
x | 85 | 90 | 100 | 110 | 120 |
y | 113 | 114 | 117 | 119 | 119 |
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
更新时间：2023-07-09 11:43:05
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【推荐1】某班的健康调查小组从所在学校共选取15名男同学，其年龄、身高和体重数据如下表所示（本题中身高单位：
，体重单位：
）.
（1）如果某同学“身高-体重
”，则认为该同学超重，从上述15名同学中任选两名同学，其中超重的同学人数为
，求的分布列和数学期望；
（2）根据表中数据，设计两种方案预测学生身高.方案①：建立平均体重与年龄的线性回归模型，表中各年龄的体重按三名同学的平均体重计算，数据整理如下表.
方案②：建立平均体重与平均身高的线性回归模型，将所有数据按身高重新分成6组：
，
，
，
，
，
，并将每组的平均身高依次折算为155，160，165，170，175，180，各组的体重按平均体重计算，数据整理如下表.
（i）用方案①预测20岁男同学的平均体重和用方案②预测身高
的男同学的平均体重，你认为哪个更合理？请给出理由；
（ii）请根据方案②建立平均体重与平均身高的线性回归方程
（数据精确到0.01）.
附：
，
.
，
，
，
.
，体重单位：）.年龄 | （身高，体重） | 年龄 | （身高，体重） |
15 |
| 18 |
|
16 |
| 19 |
|
17 |
|
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
”，则认为该同学超重，从上述15名同学中任选两名同学，其中超重的同学人数为，求的分布列和数学期望；（2）根据表中数据，设计两种方案预测学生身高.方案①：建立平均体重与年龄的线性回归模型，表中各年龄的体重按三名同学的平均体重计算，数据整理如下表.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年龄 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
平均体重 | 59 | 63.3 | 64 | 70 | 69.7 |
，，，，，，并将每组的平均身高依次折算为155，160，165，170，175，180，各组的体重按平均体重计算，数据整理如下表.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
平均身高 | 155 | 160 | 165 | 170 | 175 | 180 |
平均体重 | 48 | 57 | 63 | 68 | 74 | 82 |
的男同学的平均体重，你认为哪个更合理？请给出理由；（ii）请根据方案②建立平均体重
与平均身高的线性回归方程（数据精确到0.01）.附：
，.，，，.
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【推荐2】某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差，单位：℃）大小与某反季节大豆一天内的发芽数（单位：颗）之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图甲），以及实验室里每天每100颗种子中的发芽数（如图乙），得到如下资料：
（1）请画出发芽数与温差的散点图.
（2）若建立发芽数与温差之间的经验回归模型，请用样本相关系数
说明建立模型的合理性.（当
时，变量之间具有较强的相关关系）.
（3）①求出发芽数与温差之间的经验回归方程；
②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的关于的经验回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子中的发芽数.
参考数据：
，
，
，
.
（最高温度与最低温度的差，单位：℃）大小与某反季节大豆一天内的发芽数（单位：颗）之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图甲），以及实验室里每天每100颗种子中的发芽数（如图乙），得到如下资料：（1）请画出发芽数
与温差的散点图.（2）若建立发芽数
与温差之间的经验回归模型，请用样本相关系数说明建立模型的合理性.（当时，变量之间具有较强的相关关系）.（3）①求出发芽数
与温差之间的经验回归方程；②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的
关于的经验回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子中的发芽数.参考数据：
，，，.
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，
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【推荐1】近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如下表：
依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值（万亿元）与年份序号的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数
，其拟合指数
；研究人员乙采用函数
，其拟合指数
；研究人员丙采用线性函数
，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.（注：相关系数与拟合指数
满足关系
）.
（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附：样本
的相关系数
，
，
，
.
| 年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
| 年份序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 工业增加值 | 13.2 | 13.8 | 16.5 | 19.5 | 20.9 | 22.2 | 23.4 | 23.7 | 24.8 | 28 |
 |  |  |  |  |
| 5.5 | 20.6 | 82.5 | 211.52 | 129.6 |
（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值
（万亿元）与年份序号的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数，其拟合指数；研究人员乙采用函数，其拟合指数；研究人员丙采用线性函数，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.（注：相关系数与拟合指数满足关系）.（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立
关于的回归方程（系数精确到0.01）；（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附：样本
的相关系数，，，.
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解题方法
【推荐2】以下是在某地搜集到的房屋的销售价格y和房屋的面积x的一组数据：
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程；
(3)根据（2）的结果估算当房屋面积为
时的销售价格．
房屋面积 | 115 | 110 | 80 | 135 | 105 |
销售价格 | 24.8 | 21.6 | 18.4 | 29.2 | 22 |
万元(2)求线性回归方程；
(3)根据（2）的结果估算当房屋面积为
时的销售价格．
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【推荐3】某种产品的广告费支出
与销售额
（单位：万元）之间有如下对应数据:
（1）求回归直线方程；
（2）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
（3）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率.
与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据: | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
（2）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
（3）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率.
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【推荐1】二手车经销商小王对其所经营的
型号二手汽车的使用年数（单位年）与销售价格（单位：万元／辆）进行整理，得到如下数据：
下面是
关于的折线图.
(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的回归方程，并预测当某辆型号二手车使用年数为9年时售价约为多少？（
小数点后保留两位有效数字）
(2)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（1）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
,,
.
型号二手汽车的使用年数（单位年）与销售价格（单位：万元／辆）进行整理，得到如下数据：使用年数x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
售价y | 20 | 12 | 8 | 6.4 | 4.4 | 3 |
| 3.00 | 2.48 | 2.08 | 1.86 | 1.48 | 1.10 |
关于的折线图.(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合
与的关系，求关于的回归方程，并预测当某辆型号二手车使用年数为9年时售价约为多少？（小数点后保留两位有效数字）(2)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（1）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：,,.
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名校
解题方法
【推荐2】某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量（单位：千件）与月售价（单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量
和月销售价
数据进行了统计分析，得到了下面的散点图.
（1）根据散点图判断，
与
哪一个更适宜作为月销量关于月销售价的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为
（单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额＝月销售量×当月售价）
参考公式、参考数据及说明：
①对一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
，
.
②参考数据：
表中
，
.
③计算时，所有的小数都精确到0.01，如
.
（单位：千件）与月售价（单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量和月销售价数据进行了统计分析，得到了下面的散点图.（1）根据散点图判断，
与哪一个更适宜作为月销量关于月销售价的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为
（单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额＝月销售量×当月售价）参考公式、参考数据及说明：
①对一组数据
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.②参考数据：
|
|
|
|
|
|
|
6.50 | 6.60 | 1.75 | 82.50 | 2.70 | -143.25 | -27.54 |
，.③计算时，所有的小数都精确到0.01，如
.
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【推荐3】如图是某创业公司2017年每月份公司利润（单位：百万元）情况的散点图：为了预测该公司2018年的利润情况，根据上图数据，建立了利润y与月份x的两个线性回归模型：①
0.94+0.028
；②0.96+0.032lnx，并得到以下统计值：
（1）请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好；
（2）为了激励员工工作的积极性，公司每月会根据利润的情况进行奖惩，假设本月利润为y1，而上一月利润为y2，计算z
，并规定：若z≥10，则向全体员工发放奖金总额z元；若z＜10，从全体员工每人的工资中倒扣10﹣z元作为惩罚，扣完为止，请根据（1）中拟合效果更好的回归模型，试预测208年4月份该公司的奖惩情况？（结果精确到小数点后两位）
参考数据及公式：
1.73，
2.24，1n2≈0.69，1n3≈1.10，ln5≈1.61．相关指数R2＝1
．
0.94+0.028；②0.96+0.032lnx，并得到以下统计值：| 模型① | 模型② | |
残差平方和  （yi ）2 | 0.000591 | 0.000164 |
总偏差平方和（yi ）2 | 0.006050 | |
（2）为了激励员工工作的积极性，公司每月会根据利润的情况进行奖惩，假设本月利润为y1，而上一月利润为y2，计算z
，并规定：若z≥10，则向全体员工发放奖金总额z元；若z＜10，从全体员工每人的工资中倒扣10﹣z元作为惩罚，扣完为止，请根据（1）中拟合效果更好的回归模型，试预测208年4月份该公司的奖惩情况？（结果精确到小数点后两位）参考数据及公式：
1.73，2.24，1n2≈0.69，1n3≈1.10，ln5≈1.61．相关指数R2＝1．
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【推荐1】一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：
其中
，2，3，4，5，6，7（参考数据：
，
，
，
）
（1）求线性回归方程；（结果保留到小数点后两位）
参考公式：
，
（2）预测进店人数为80人时，商品销售的件数．（结果保留整数）
| 人数 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
| 件数 | 4 | 7 | 12 | 15 | 20 | 23 | 27 |
，2，3，4，5，6，7（参考数据：，，，）（1）求线性回归方程；（结果保留到小数点后两位）
参考公式：
，（2）预测进店人数为80人时，商品销售的件数．（结果保留整数）
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【推荐2】又到了品尝小龙虾的季节，小龙虾近几年来被称作是“国民宵夜”风靡国内外.在巨大的需求市场下，湖北的小龙虾产量占据了全国的半壁江山，湖北某地区近几年的小龙虾产量统计如下表：
（1）根据表中数据，建立关于
的线性回归方程
；
（2）根据线性回归方程预测2019年该地区农产品的年产量.
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.（参考数据：
，计算结果保留小数点后两位）.
| 年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
| 年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 年产量（万吨） | 6.6 | 6.9 | 7.4 | 7.7 | 8 | 8.4 |
关于的线性回归方程；（2）根据线性回归方程预测2019年该地区农产品的年产量.
附：对于一组数据
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.（参考数据：，计算结果保留小数点后两位）.
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