下表是某单位在2023年1~5月份用水量(单位:百吨)的一组数据:
(1)从这5个月中任取2个月的用水量,求所取2个月的用水量之和不超过7(单位:百吨)的概率;
(2)若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05,视为“预测可靠”,那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠?说明理由.
参考公式:对于一组数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
用水量y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 5.2 |
(2)若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05,视为“预测可靠”,那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠?说明理由.
参考公式:对于一组数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
更新时间:2023-08-01 17:50:18
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【推荐1】已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据:
求y对x的回归直线方程,并说明回归模型拟合效果的好坏.
x | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 |
y | 12 | 10 | 7 | 5 | 3 |
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【推荐2】某工厂生产一批螺丝钉,长度均为整数,且在至之间,技术监督组为了解生产的螺丝钉质量,按照长度分为9组,每组抽取150个对其中的优质螺丝钉个数进行统计,数据如下:
(1)设每个长度区间的中点值为,优质个数为,求关于的回归直线方程.若该厂又生产了一批长度区间为的螺丝钉,并从中随机抽取50个,请根据回归直线方程预测这150个中的优质个数.
(2)若在某一长度区间内有超过半数的螺丝钉是优质的,则认为从该长度区间内任选一个均为优质的,否则不是.现从这五个长度区间中各随机抽取一个,再从这5个螺丝钉中任选3个,记随机变量为其中的优质个数,求的分布列与数学期望.
(参考公式和数据:)
长期区间 | |||||||||
优质个数 | 81 | 81 | 84 | 88 | 84 | 83 | 83 | 70 | 66 |
(2)若在某一长度区间内有超过半数的螺丝钉是优质的,则认为从该长度区间内任选一个均为优质的,否则不是.现从这五个长度区间中各随机抽取一个,再从这5个螺丝钉中任选3个,记随机变量为其中的优质个数,求的分布列与数学期望.
(参考公式和数据:)
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【推荐3】年上半年,随着新冠肺炎疫情在全球蔓延,全球超过个国家或地区宣布进入紧急状态,部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”,随着国外部分活动进入停摆,全球经济缺乏活力,一些企业开始倒闭,下表为年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表:
(1)由所给数据可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立关于的回归方程,预测年成立的企业中倒闭企业所占比例.
参考数据:,,,,
相关系数,样本的最小二乘估计公式为,.
企业成立年份 | 2019 | 2018 | 2017 | 2016 | 2015 |
企业成立年限 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
倒闭企业数量(万家) | 5.28 | 4.72 | 3.58 | 2.70 | 2.15 |
倒闭企业所占比例 | 21.4% | 19.1% | 14.5% | 10.9% | 8.7% |
(2)建立关于的回归方程,预测年成立的企业中倒闭企业所占比例.
参考数据:,,,,
相关系数,样本的最小二乘估计公式为,.
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【推荐1】2022年3月28日是第三十届“世界水日”,我国将3月22~28日确定为“中国水周”,并将“推进地下水超采综合治理,复苏河湖生态环境”作为相关宣传活动的主体.某地区为了制定更加合理的节水方案,通过随机抽样,调查了上一年度200户居民的月均用水量(单位:吨),并将数据分成以下9组:,,,,,,,,,制成了频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值,并估计该地区居民的月均用水量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)设该地区有居民20万户,估计该地区居民的月均用水量不低于14吨的户数;
(3)为了进一步了解居民的节水、用水情况,在月均用水量为和的两组中,按月均用水量用分层抽样的方法抽取6户居民,再从这6户居民中随机抽取2户进行问卷调查,求抽取的这2户居民来自不同组的概率.
(1)求a的值,并估计该地区居民的月均用水量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)设该地区有居民20万户,估计该地区居民的月均用水量不低于14吨的户数;
(3)为了进一步了解居民的节水、用水情况,在月均用水量为和的两组中,按月均用水量用分层抽样的方法抽取6户居民,再从这6户居民中随机抽取2户进行问卷调查,求抽取的这2户居民来自不同组的概率.
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【推荐2】某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班(人数均为 人)进行教学(两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致),数学期终考试成绩茎叶图如下:
(1)现从乙班数学成绩不低于 分的同学中随机抽取两名同学,求至少有一名成绩为 分的同学被抽中的概率;
(2)学校规定:成绩不低于 分的优秀,请填写下面的联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
附:参考公式及数据
(1)现从乙班数学成绩不低于 分的同学中随机抽取两名同学,求至少有一名成绩为 分的同学被抽中的概率;
(2)学校规定:成绩不低于 分的优秀,请填写下面的联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
附:参考公式及数据
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【推荐3】甲、乙两人玩一个掷骰子游戏,规则如下:甲掷两次骰子,第一次掷出的数字作为十位数,第二次掷出的数字作为个位数,组成一个两位数,然后让乙猜.若乙猜出的结果与该两位数满足的数字特征相符,则乙获胜,否则甲获胜,一轮游戏结束,然后进行下一轮(每轮游戏都由甲掷两次骰子).
所要猜的两位数的数字特征方案从以下两种猜法中选择一种;
猜法一:猜“两位数的十位大于个位”;
猜法二:猜“两位数的十位不大于个位”.
请回答:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜法,并说明理由;
(2)假定每轮游戏结果相互独立,规定有人连续获胜两次则整个游戏停止,若乙按照(1)中的猜法进行游戏,求第三轮后游戏停止的概率.
所要猜的两位数的数字特征方案从以下两种猜法中选择一种;
猜法一:猜“两位数的十位大于个位”;
猜法二:猜“两位数的十位不大于个位”.
请回答:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜法,并说明理由;
(2)假定每轮游戏结果相互独立,规定有人连续获胜两次则整个游戏停止,若乙按照(1)中的猜法进行游戏,求第三轮后游戏停止的概率.
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【推荐1】劳动教育是国民教育体系的重要内容,是学生成长的必要途径,具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值.为了帮助实践基地科学学种植,提高产量,某班级数学建模兴趣小组收集了A作物的亩施肥量x(kg)和亩产量y(kg)的有关数据,数据如下表:
(1)求亩产量y关于亩施肥量x的线性回归方程;
(2)①估计亩施肥量为20kg时亩产量;
②根据资料记载,当施肥量为20kg时,亩产量约为390kg,请给出解释.
参考公式:==,=-.
亩施肥量 | 0 | 2.5 | 5 | 7.5 | 10 |
亩产量 | 70 | 150 | 200 | 250 | 320 |
(2)①估计亩施肥量为20kg时亩产量;
②根据资料记载,当施肥量为20kg时,亩产量约为390kg,请给出解释.
参考公式:==,=-.
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【推荐2】某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用,需了解年研发费用(单位:千万元)对年销售量(单位:千万件)的影响,统计了近年投入的年研发费用与年销售量的数据,得到散点图如图所示.
(1)利用散点图判断和(其中均为大于的常数)哪一个更适合作为年销售量和年研发费用的回归方程类型(只要给出判断即可,不必说明理由)
(2)对数据作出如下处理,令,得到相关统计量的值如下表:根据第(1)问的判断结果及表中数据,求关于的回归方程;
(3)已知企业年利润(单位:千万元)与的关系为(其中),根据第(2)问的结果判断,要使得该企业下一年的年利润最大,预计下一年应投入多少研发费用?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,
(1)利用散点图判断和(其中均为大于的常数)哪一个更适合作为年销售量和年研发费用的回归方程类型(只要给出判断即可,不必说明理由)
(2)对数据作出如下处理,令,得到相关统计量的值如下表:根据第(1)问的判断结果及表中数据,求关于的回归方程;
15 | 15 | 28.25 | 56.5 |
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,
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【推荐3】新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球,某医疗器械公司准备投资呼吸机或心电监护仪项目,若投资呼吸机,据预期,每年的收益率为40%的概率为,收益率为-10%的概率为;若投资心电监护仪,据预期,每年的收益率为40%的概率为0.4,收益率为-10%的概率为0.2,收益率为零的概率为0.4.
(1)已知投资呼吸机的收益率的期望大于投资心电监护仪的收益率的期望,求的取值范围;
(2)若该医疗器械公司准备对收益率期望较大的呼吸机进行投资,计划今后4年累计投资数据如下表:
已知变量具有较强的线性相关关系,根据表中数据求出关于的回归方程,并预测计划到哪一年的累计投资额将达到千万元?(精确到)
参考公式:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
(1)已知投资呼吸机的收益率的期望大于投资心电监护仪的收益率的期望,求的取值范围;
(2)若该医疗器械公司准备对收益率期望较大的呼吸机进行投资,计划今后4年累计投资数据如下表:
年份 | 2022 | 2023 | 2024 | 2025 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 |
累计投资金额(单位:千万元) |
参考公式:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
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