【推荐1】已知双曲线的左右焦点分别为，，左顶点的坐标为，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)分别是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于，的一个动点，直线分别于直线交于两点，问以为直径的圆是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由.

【推荐2】已知双曲线的离心率为.
（1）求双曲线的方程.
（2）直线与该双曲线交于不同的两点、，且、两点都在以点为圆心的同一圆上，求的取值范围.

【推荐3】我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左､右顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的动直线交双曲线右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

【推荐1】已知分别为双曲线的左､右顶点，为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上异于点的另一点，当点坐标为时，.
(1)求双曲线的方程；
(2)若点，直线交双曲线的右支于点，判断直线与直线的交点是否在一条定直线？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由.

【推荐2】 设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知双曲线上点到两定点的距离分别为，，且满足．
(1)求双曲线的方程；
(2)设经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点在定直线上．