对于非空有限整数集X，
，定义
，对
现有两个非空有限整数集A，B，已知
且
．
(1)当
时求集合B；
(2)证明：
；
(3)当
且
时，任取
构造函数
问：当a，b取何值时，
的最小值最小?
，定义，对现有两个非空有限整数集A，B，已知且．(1)当
时求集合B；(2)证明：
；(3)当
且时，任取构造函数问：当a，b取何值时，的最小值最小?
更新时间：2023-11-05 08:45:38
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(0.15)
名校
【推荐1】设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意
，都有
或
，则称A为自邻集．记集合
的所有子集中的自邻集的个数为
．
(1)直接写出
的所有自邻集；
(2)若n为偶数且
，求证：
的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若
，求证：
．
，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为．(1)直接写出
的所有自邻集；(2)若n为偶数且
，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若
，求证：．
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，且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得
，则称集合M是“关联的”，并称集合
是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”.
与
是“关联的”还是“独立的”？
是“关联的”，且任取集合
，总存在M的“关联子集”A，使得
.若
，求证：
，
，
，
，
是等差数列.
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(0.15)
名校
【推荐1】已知自然数集
，非空集合
.若集合E满足：对任意
，存在
，使得
，称集合E为集合A的一组m元基底.
(1)分别判断下列集合E是否为集合A的一组二元基底，并说明理由：
①
；
②
.
(2)若集合E是集合A的一组m元基底，证明：
；
(3)若集合E为集合
的一组m元基底，求m的最小值.
，非空集合.若集合E满足：对任意，存在，使得，称集合E为集合A的一组m元基底.(1)分别判断下列集合E是否为集合A的一组二元基底，并说明理由：
①
；②
.(2)若集合E是集合A的一组m元基底，证明：
；(3)若集合E为集合
的一组m元基底，求m的最小值.
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(0.15)
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【推荐2】对于函数
， 若存在
，使得
，则称
为函数
的 “不动点”;若存在，使得
，则称为函数 的“稳定点”.记函数
的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即
(1)设函数
，求A和B；
(2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论；
(3)若
，且
，求实数a的取值范围.
， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即(1)设函数
，求A和B；(2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论；
(3)若
，且，求实数a的取值范围.
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(0.15)
名校
【推荐3】设
为非空集合，令
，则
的任意子集
都叫做从到的一个关系（
），简称上的关系．例如
时，
，
，
，
等都是上的关系．设为非空集合上的关系．如果满足：
①（自反性）若
，有
，则称在上是自反的；
②（对称性）若
，有
，则称在上是对称的；
③（传递性）若
，
，有
，则称在上是传递的；
称为上的等价关系．
(1)已知．用列举法写出，然后写出上的关系有多少个，最后写出上的所有等价关系．（只需写出结果）
(2)设
和
是某个非空集合上的关系，证明：
（ⅰ）若，是自反的和对称的，则
也是自反的和对称的；
（ⅱ）若，是传递的，则
也是传递的．
(3)若给定的集合有
个元素
，
为的非空子集，满足
且两两交集为空集．求证：
为上的等价关系．
为非空集合，令，则的任意子集都叫做从到的一个关系（），简称上的关系．例如时，，，，等都是上的关系．设为非空集合上的关系．如果满足：①（自反性）若
，有，则称在上是自反的；②（对称性）若
，有，则称在上是对称的；③（传递性）若
，，有，则称在上是传递的；称
为上的等价关系．(1)已知
．用列举法写出，然后写出上的关系有多少个，最后写出上的所有等价关系．（只需写出结果）(2)设
和是某个非空集合上的关系，证明：（ⅰ）若
，是自反的和对称的，则也是自反的和对称的；（ⅱ）若
，是传递的，则也是传递的．(3)若给定的集合
有个元素，为的非空子集，满足且两两交集为空集．求证：为上的等价关系．
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【推荐1】已知函数
.
（1）当
时，求在
上的最值；
（2）设集合
，若
，求m的取值范围.
.（1）当
时，求在上的最值；（2）设集合
，若，求m的取值范围.
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【推荐2】设函数
,其中
.
（1）若
在
上有最小值, 求实数
的取值范围；
（2）当
,
时, 记
,若对任意
,总存在
,使得
,求的取值范围.
,其中.（1）若
在上有最小值, 求实数的取值范围；（2）当
,时, 记,若对任意,总存在,使得,求的取值范围.
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上，过点P作
轴的垂线，垂足为Q且
.
与圆
的面积分别为
，求
的取值范围.
【推荐1】给定正整数
，设
为n维
向量
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和
，定义它们的内积为
.
设
.且集合
，对于A中任意元素
，
，若
则称A具有性质
.
(1)当
时，判断集合
是否具有性质
？说明理由；
(2)当
时，判断是否存在具有性质的集合A，若存在求出
，若不存在请证明；
(3)若集合A具有性质
，证明：
.
，设为n维向量的集合.对于集合M中的任意元素和，定义它们的内积为.设
.且集合，对于A中任意元素，，若则称A具有性质.(1)当
时，判断集合是否具有性质？说明理由；(2)当
时，判断是否存在具有性质的集合A，若存在求出，若不存在请证明；(3)若集合A具有性质
，证明：.
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(0.15)
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【推荐2】已知集合
，对于的一个子集
，若存在不大于的正整数
，使得对中的任意一对元素
，都有
，则称具有性质
．
(1)当
时，试判断集合
和
是否具有性质？并说明理由；
(2)当时
，若集合具有性质，
①判断集合
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，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质．(1)当
时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由；(2)当时
，若集合具有性质，①判断集合
是否一定具有性质？并说明理由；②求集合中
元素个数的最大值．
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.如果对任意的i，j(
且
)，
与
两数中至少有一个属于A.则称数集A具有性质P.
是否具有性质P，并说明理由：
具有性质P.
，证明：对任意
都有
是
.
