【推荐1】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，
（1）求圆的标准方程．
（2）若圆与：相切,求的值；

【推荐2】已知圆心为的圆与两条直线，都相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)经过点的直线与圆交于，两点，若线段的中点恰好为点，求的面积．

【推荐3】已知圆与轴相切，圆心在直线上且在第一象限内，圆在直线上截得的弦长为．
(1)求圆的方程：
(2)已知线段的端点的横坐标为，端点在（1）中的圆上运动，线段与轴垂直，求线段的中点的轨迹方程．并判断点的轨迹是否为圆，若是，求出圆心和半径；若不是，判断点的轨迹是哪种曲线?（无需说明理由）．

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程
(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上．

【推荐2】如图所示，取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志，为美观考虑，要求图中标记的①、②、③）三个区域面积彼此相等.（已知：椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积，即椭圆面积为）

（1）求椭圆的离心率的值；
（2）已知外椭圆长轴长为6，用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切，移动角尺绕外椭圆一周，得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来，整个标志完成.请你建立合适的坐标系，求出点M的轨迹方程.

【推荐3】已知圆.
(1)若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程.