【推荐1】已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆短轴的一个端点，的面积为.
（1）求椭圆的方程;
（2）若是椭圆上异于顶点的四个点与相交于点，且,求的取值范围.

【推荐2】如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直，椭圆的离心率，为椭圆的左焦点，且.

(1)求此椭圆的方程；
(2)设是此椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得连接并延长交直线于点为的中点，判定直线与以为直径的圆的位置关系.

【推荐3】给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是.
（1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标；
（3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若， ，求证： 为定值．

【推荐2】已知，是椭圆：的左、右焦点，恰好与抛物线的焦点重合，过椭圆的左焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，直线：，过斜率为的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若直线，，的斜率分别是，，，求证：无论取何值，总满足是和的等差中项．

【推荐3】已知圆点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和线段相交于点．
   
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设曲线与轴的两个交点分别为、（其中点在点的左侧），过且斜率不为的直线交曲线于、两点，直线、交于点，求证：点在定直线上．