【推荐1】为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得分，每答错一道题目扣分；
②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为分，若挑战结束后，累计得分不低于分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对道题的概率；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率；
（3）选手甲闯关成功的概率．

【推荐3】已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有，，三位毕业生应聘该单位，假设，，三位毕业生笔试合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，.
(1)求，两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率；
(2)记随机变量为，，三位毕业生中通过招聘的人数，求的分布列与数学期望.

【推荐2】某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲、乙两队进行比赛，已知甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．
(1)若采用三局两胜制进行比赛（即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束），求甲队获胜的概率；
(2)若采用五局三胜制进行比赛（即先胜三局者赢得比赛，同时比赛结束），求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．

【推荐3】如图，直角坐标系中，圆的方程为，，，为圆上三个定点，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．

（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到，，处的概率；
（2）掷骰子次时，若以轴非负半轴为始边，以射线，，为终边的角的余弦值记为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）记，，，其中．证明：数列是等比数列，并求.

【推荐2】为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的精神，同时为尊重考生的自主选择权，教育部推出了高考新方案：“3+1+2”模式.“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学工作，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合为物理、化学、生物，B组合为历史、政治、地理，C组合为物理、化学、地理.根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为.甲、乙，丙三位同学每人选课是相互独立的.
（1）求这三位同学恰好选择的组合互不相同的概率；
（2）记表示这三人中选择含物理的组合的人数，求的分布列及数学期望.

【推荐3】“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．
(1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
(2)如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；
(3)为了激励研究热情，首先分别给予两个小组各50万元的研究经费，并规定试验每成功一次，额外奖励9万元．若甲乙两小组各进行1次试验，设两个小组获得的总费用（研究经费＋额外奖励）为Y，求Y的数学期望．