【推荐1】设函数，数列满足
⑴求数列的通项公式；
⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；
⑶是否存在以为首项，公比为的等比数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由

【推荐2】设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：①；②存在实数M，使a_n≤M（n为正整数）
（1）在只有5项的有限数列{a_n}、{b_n}中，其中a₁＝1，a₂＝2，a₃＝3，a₄＝4，a₅＝5，b₁＝1，b₂＝4，b₃＝5，b₄＝4，b₅＝1，试判断数列{a_n}、{b_n}是否为集合W中的元素；
（2）设{c_n}是等差数列，s_n是其前n项和，c₃＝4，s₃＝18，证明数列{s_n}∈W，并写出M的取值范围；
（3）设数列{d_n}∈W，对于满足条件的M的最小值M₀，都有d_n≠M₀（n∈N^*）求证：数列{d_n}单调递增．

【推荐3】在数列中，，且对任意，都有．
（1）计算，，，由此推测的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若（），求无穷数列的前项之和与的最大项．

【推荐1】定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．
（1）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若，是数列的保三角形函数”，求的取值范围；
（2）已知数列的首项为2019，是数列的前项和，且满足，证明是“三角形”数列；
（3）求证：函数，是数列1，，的“保三角形函数”的充要条件是，．

【推荐2】对于数列，定义设的前n项和为．
(1)设，写出，，，；
(2)证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；
(3)已知首项为0，项数为的数列满足：
①对任意且，有；
②．
求所有满足条件的数列的个数．

【推荐3】若一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“阿当数列”．
（1）若数列为“阿当数列”，且，，，求实数m的取值范围；
（2）是否存在首项为1的等差数列为“阿当数列”，且其前n项和满足？请证明你的结论；
（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“阿当数列”，，，当数列不是“阿当数列”时，试判断数列是否为“阿当数列”，并说明理由．