【推荐1】已知数列满足，且，．
(1)计算，；
(2)求猜测的通项公式，并证明；
(3)设，问是否存在使不等式对一切且均成立的最大整数，若存在请求出，若不存在，请说明理由．

【推荐2】汉诺塔（Hanoi）游戏是源于印度古老传说的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A、B、C），在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如下图）．游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上．记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为．

(1)求，，；
(2)写出与的关系，并求出．
(3)求证：

【推荐3】数列满足：，当，时，．
(1)求，并证明：数列为常数列；
(2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

【推荐1】已知正项数列满足.求的通项公式；

【推荐2】数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前n项和．

【推荐3】已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.