【推荐1】（理）已知等差数列的公差是，是该数列的前项和.
（1）试用表示，其中、均为正整数；
（2）利用（1）的结论求解：“已知，求”；
（3）若数列前项的和分别为，试将问题（1）推广，探究相应的结论. 若能证明，则给出你的证明并求解以下给出的问题；若无法证明，则请利用你的研究结论和另一种方法计算以下给出的问题，从而对你猜想的可靠性作出自己的评价.问题：“已知等差数列的前项和，前项和，求数列的前2010项的和.”

【推荐2】若有穷数列（）满足：①；②.则称该数列为“阶非凡数列”
（1）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；
（2）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；
（3）记“阶非凡数列”的前项的和为，求证：

【推荐3】设数列的前项和为，若对任意，都有，则称数列具有性质P.
（1）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列是否具有性质P；
（2）若正项等差数列具有性质P，求数列的公差；
（3）已知正项数列具有性质P，，且对任意，有，求数列的通项公式.

【推荐2】若存在常数 k（k∈N * , k≥2）、d、t（ d , t∈R），使得无穷数列 {a _n }满足a _{n +1}，则称数列{a_n }为“段差比数列”，其中常数 k、d、t 分别叫做段长、段差、段比．设数列 {b_n }为“段差比数列”．
（1）已知 {b_n }的首项、段长、段差、段比分别为1、 2 、 d 、 t ．若 {b_n }是等比数列，求 d 、 t 的值；
（2）已知 {b_n }的首项、段长、段差、段比分别为1、3 、3 、1，其前 3n 项和为 S_3n ．若不等式 S_3n≤ λ ⋅ 3ⁿ⁻¹对 n ∈ N *恒成立，求实数 λ 的取值范围；
（3）是否存在首项为 b，段差为 d（d ≠ 0 ）的“段差比数列” {b_n }，对任意正整数 n 都有 b_n+6   = b_n ，若存在， 写出所有满足条件的 {b_n }的段长 k 和段比 t 组成的有序数组 (k, t )；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知递增的等差数列{a_n}的首项a₁=1，且a₁、a₂、a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{c_n}对任意n∈N^*，都有+…+=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₄的值
（3）若b_n=（n∈N^*），求证：数列{b_n}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．

【推荐1】在平面直角坐标系．xOy中，设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点M，且它们的斜率之积是．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)记动点M的轨迹为曲线E，过作两条互相垂直的直线，，与曲线E交于A、B两点，与曲线E交于C、D两点，求的最大值．

【推荐2】若实数使得对任意实数不等式：恒成立，试求的最大值.

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

【推荐1】给定项数为的数列，其中.若存在一个正整数，若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”，例如数列.因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”.
(1)分别判断下列数列
①.
②.
是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
(2)若项数为的数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；
(3)假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值.

【推荐2】若数列满足，则称数列为数列.记.
(1)写出一个满足，且的数列；
(2)若，证明：数列是递增数列的充要条件是；
(3)对任意给定的整数，是否存在首项为1的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.

【推荐3】已知正整数数列满足：，，.
（1）已知，，求和的值；
（2）若，求证；
（3）求的取值范围.