【推荐1】如图所示，光滑的水平轨道（足够长）的右端与倾角为足够长的传送带下端平滑相接（物块经过此位置滑上传送带时无机械能损失），传送带顺时针转动速度恒为，水平轨道的左边是半径为光滑竖直半圆轨道。现用轻质细线连接甲、乙两物体，中间夹一被压缩的轻质弹簧，弹簧与甲、乙两物体不拴连。甲的质量为，乙的质量为，甲、乙均静止在光滑的水平面上。当固定甲物体，烧断细线，乙物体离开弹簧后在传送带上滑行的最远距离为。传送带与乙物体间动摩擦因数为，重力加速度取，甲、乙两物体可看作质点，，。求：
(1)弹簧压缩时具有的弹性势能的大小；
(2)若固定乙物体，松开甲物体，烧断细线，甲物体离开弹簧后进入半圆轨道，则甲物体通过点时对轨道的压力大小；
(3)若甲、乙两物体均不固定，烧断细线后，测得在水平轨道上甲、乙物体弹开后的速度大小之比为，则此后乙物体沿传送带运动到最高点过程中因摩擦产生的热量。

【推荐2】如图所示，水平传送带AB在右端B点平滑连接着一个光滑半圆弧轨道。P点为圆弧轨道最高点，圆弧轨道圆心O所在虚线下方有水平向右的匀强电场，Q点为O点的水平等高点。质量、电荷量的带电小滑块（可视为质点）从距B点为L处由静止释放，经传送带运动到圆弧轨道上，小滑块运动到P点时对轨道的压力大小。已知圆弧轨道半径，电场强度的大小为，小滑块与传送带之间的动摩擦因数为，不计空气阻力，重力加速度。求：
（1）小滑块在P点时的动能大小；
（2）小滑块在B点和Q点的速度大小之比；
（3）若传送带的速度，求物块释放点距B点的长度L和传送带因带动小物块而多做的功。
   

【推荐3】如图所示，两轴心间距为s的水平传送带A、B两端均与光滑水平面平滑连接，一轻弹簧放在右边水平面上，弹簧右端与竖直墙壁相连。用质量为m的物块压缩弹簧，当弹簧被压缩至O点时由静止释放物块，物块刚好能滑到静止传送带的A端，已知物块与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，现让传送带沿逆时针匀速转动，仍用物块将弹簧压缩至O点，由静止释放物块，物块被弹簧弹开，并滑上传送带，求
(1)传送带的速度至少多大可以使传送带一直对物块做正功；
(2)第(1)问中传送带的电机因传送物块额外消耗的电能至少为多少?

【推荐1】如图所示，竖直面内半径为的光滑圆弧轨道底端切线水平，与水平传送带左端B连接，传送带右端C与一倾角的粗糙斜面平滑连接，圆弧轨道底端、传送带上表面位于同一水平面，圆弧所对的圆心角，传送带长，以的恒定速度沿顺时针匀速转动，一轻弹簧放在斜面上，弹簧右端固定，处于原长状态。让一个质量的物块从圆弧轨道的最高点A由静止释放，经过传送带冲上斜面后到达D点将弹簧压缩至最短，CD间距离为1m，物块第二次滑上传送带后，恰好能滑到传送带的左端B点，不计物块的大小，物块与传送带间的动摩擦因数为0.5，已知，，重力加速度，求：
（1）物块运动到圆弧轨道最底端时对轨道的压力大小；
（2）物块与斜面间的动摩擦因数以及物块第一次压缩弹簧时，弹簧获得的最大弹性势能；
（3）物块从静止释放到最终停止运动，物块与斜面间因摩擦产生的热量。

【推荐2】如图所示，轻质弹簧一端固定 ，另一端与一质量为、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从A处由静止开始下滑，经过处的速度最大，到达处的速度为零，；若圆环在处获得一竖直向上的速度，恰好能回到A，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为。
（1）求圆环在处的弹性势能；
（2）通过计算判断圆环上滑经过的速度大于下滑经过的速度。

【推荐3】图甲所示的蹦极运动是一种非常刺激的娱乐项目。为了研究蹦极过程，做以下简化：将游客视为质点，他的运动沿竖直方向，忽略弹性绳的质量。如图乙所示，某次蹦极时，游客从蹦极平台由静止开始下落，到a点时弹性绳恰好伸直，游客继续向下运动，能到达的最低位置为b点，整个过程中弹性绳始终在弹性限度内，弹性绳的弹力大小，其中x为弹性绳的形变量，且游客从离开蹦极平台第一次运动到最低点的过程中，机械能损失可忽略。已知该游客的质量，，弹性绳的原长。取重力加速度。
（1）求游客第一次到达a点时的速度大小v；
（2）求游客下落过程中速度第一次达到最大值时弹性绳的形变量；
（3）国家有关部门规定蹦极所需的弹性绳最大伸长量应不超过原长的4倍。已知弹性绳的形变量为x时，它的弹性势能。请你判断该游客使用的这根弹性绳是否符合规定，并简述理由。

   

【推荐1】某遥控赛车轨道如图所示，赛车从起点A出发，沿摆放在水平地面上的直轨道AB运动L=10m后，从B点进入半径R=0.1m的光滑竖直圆轨道，经过一个完整的圆周后进入粗糙的、长度可调的、倾角=30的斜直轨道CD，最后在D点速度方向变为水平后飞出（不考虑经过轨道中C、D两点的机械能损失）。已知赛车质量m=0.1kg，通电后赛车以额定功率P=1.5W工作，赛车与AB轨道、CD轨道间的动摩擦因数分别为μ₁=0.3和μ₂=，重力加速度g取10m/s²：
(1)求赛车恰好能过圆轨道最高点P时的速度v_P的大小；
(2)若要求赛车能沿圆轨道做完整的圆周运动，求赛车通电的最短时间；
(3)已知赛车在水平直轨道AB上运动时一直处于通电状态且最后阶段以恒定速率运动，进入圆轨道后关闭电源，选择CD轨道合适的长度，可使赛车从D点飞出后落地的水平位移最大，求此最大水平位移，并求出此时CD轨道的长度。

【推荐2】如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道上端点为A（与轨道圆心O等高），下端点为B（在轨道圆心O的正下方），其中A点距离水平地面的高度为h，质量为m的质点从A点无初速滑下，经过B点后水平飞出，落到水平地面上时落点与A点的水平距离也为h，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)质点经过B点时所受轨道弹力的大小；
(2)圆弧轨道的半径。

【推荐3】如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R=0.2m的光滑圆形轨道，BC段为高为h=5m的竖直轨道，CD段为水平轨道。一质量为0.1kg的小球由A点从静止开始下滑到B点时速度的大小为2m/s，离开B点做平抛运动（g取10m/s²），求：
(1)小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C的水平距离；
(2)小球到达B点时对圆形轨道的压力大小？
(3)如果在BCD轨道上放置一个倾角θ=45°的斜面（如图中虚线所示），那么小球离开B点后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置。