我国航天技术水平在世界处于领先地位，对于人造卫星的发射，有人提出了利用“地球隧道”发射人造卫星的构想：沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处分别将等质量的待发射卫星部件同时释放，部件将在通道中间位置“碰撞组装”成卫星并静止下来；另在通道的出口处由静止释放一个大质量物体，大质量物体会在通道与待发射的卫星碰撞，只要物体质量相比卫星质量足够大，卫星获得足够速度就会从对向通道口射出。（以下计算中，已知地球的质量为
，地球半径为
，引力常量为G，可忽略通道AB的内径大小和地球自转影响。）
（1）如图甲所示，将一个质量为
的质点置于质量分布均匀的球形天体内，质点离球心O的距离为r。已知天体内部半径在
之间的“球壳”部分（如甲示阴影部分）对质点的万有引力为零，求质点所受万有引力的大小
。
（2）如图乙所示，设想在地球上距地心h处沿弦长方向挖了一条光滑通道AB，一个质量为m。的质点在离通道中心
的距离为x处，求质点所受万有引力沿弦AB方向的分力
；将该质点从A点静止释放，求质点到达通道中心处时的速度大小
。
（3）如图丙所示，如果质量为m的待发射卫星已静止在通道中心处，由A处静止释放另一质量为M的物体，物体到达处与卫星发生弹性正碰，设M远大于m，计算时可取
。卫星从图丙示通道右侧B处飞出，为使飞出速度达到地球第一宇宙速度，h应为多大？
，地球半径为，引力常量为G，可忽略通道AB的内径大小和地球自转影响。）（1）如图甲所示，将一个质量为
的质点置于质量分布均匀的球形天体内，质点离球心O的距离为r。已知天体内部半径在之间的“球壳”部分（如甲示阴影部分）对质点的万有引力为零，求质点所受万有引力的大小。（2）如图乙所示，设想在地球上距地心h处沿弦长方向挖了一条光滑通道AB，一个质量为m。的质点在离通道中心
的距离为x处，求质点所受万有引力沿弦AB方向的分力；将该质点从A点静止释放，求质点到达通道中心处时的速度大小。（3）如图丙所示，如果质量为m的待发射卫星已静止在通道中心
处，由A处静止释放另一质量为M的物体，物体到达处与卫星发生弹性正碰，设M远大于m，计算时可取。卫星从图丙示通道右侧B处飞出，为使飞出速度达到地球第一宇宙速度，h应为多大？
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更新时间：2023-03-21 08:33:20
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(0.4)
名校
【推荐1】一球形人造卫星的最大横截面积为
、质量为
，在轨道半径为
的高空绕地球做圆周运动．由于受到稀薄空气阻力的作用，导致卫星运行的轨道半径逐渐变小．卫星在绕地球运转很多圈之后，其轨道的高度下降了
，由于
，所以可以将卫星绕地球运动的每一圈均视为匀速圆周运动．设地球可看成质量为
的均匀球体，万有引力常量为
．
（
）求人造卫星在轨道半径为的高空绕地球做圆周运动的周期
．
（
）取无穷远处为零势能点，当卫星的运行轨道半径为时，卫星与地球组成的系统具有的势能可表示为
．请估算人造卫星由半径为的圆轨道降低到半径为
的圆轨道的过程中，机械能的变化
．
（
）某同学为估算稀薄空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设：卫星运行轨道范围内稀薄空气的密度为
，且为恒量；稀薄空气可看成是由彼此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都具有与卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变．在满足上述假设的条件下，请估算空气颗粒对卫星在半径为
轨道上运行时，所受阻力
大小的表达式．
、质量为，在轨道半径为的高空绕地球做圆周运动．由于受到稀薄空气阻力的作用，导致卫星运行的轨道半径逐渐变小．卫星在绕地球运转很多圈之后，其轨道的高度下降了，由于，所以可以将卫星绕地球运动的每一圈均视为匀速圆周运动．设地球可看成质量为的均匀球体，万有引力常量为． （
）求人造卫星在轨道半径为的高空绕地球做圆周运动的周期．（
）取无穷远处为零势能点，当卫星的运行轨道半径为时，卫星与地球组成的系统具有的势能可表示为．请估算人造卫星由半径为的圆轨道降低到半径为的圆轨道的过程中，机械能的变化．（
）某同学为估算稀薄空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设：卫星运行轨道范围内稀薄空气的密度为，且为恒量；稀薄空气可看成是由彼此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都具有与卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变．在满足上述假设的条件下，请估算空气颗粒对卫星在半径为轨道上运行时，所受阻力大小的表达式．
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(0.4)
【推荐2】我国自行研制的“神舟”六号载人飞船载着中国第二代两名航天员，于2005年10月12日9时在酒泉发射场由“长征二号F”大推力运载火箭发射升空，并按预定轨道环绕地球飞行76圈后，于10月17日4时32分安全返回落在内蒙古的主着陆场。
(1)设“神舟”六号飞船在飞行过程中绕地球沿圆轨道运行，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T，试计算飞船离地面的平均高度h。
(2)已知将质量为m的飞船在距地球中心无限远处移到距离地球中心为r处的过程中，万有引力做功为
，式中G为万有引力恒量，M为地球质量，那么将质量为m的飞船从地面发射到距离地面高度为h的圆轨道上，火箭至少要对飞船做多少功？（为简化计算，不考虑地球自转对发射的影响）。
(1)设“神舟”六号飞船在飞行过程中绕地球沿圆轨道运行，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T，试计算飞船离地面的平均高度h。
(2)已知将质量为m的飞船在距地球中心无限远处移到距离地球中心为r处的过程中，万有引力做功为
，式中G为万有引力恒量，M为地球质量，那么将质量为m的飞船从地面发射到距离地面高度为h的圆轨道上，火箭至少要对飞船做多少功？（为简化计算，不考虑地球自转对发射的影响）。
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，其中r为两天体中心间的距离．）
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(0.4)
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【推荐1】地球的质量M=5.98×1024kg，地球半径R=6370km，引力常量G=6.67×10－11Nm2/kg2，求：
（1）用题中的已知量表示出第一宇宙速度的表达式；
（2）一颗绕地做圆周运动的卫星环绕速度为v=2100m/s，用题中的已知量表示此卫星距地面高度h的表达式；
（3）此高度的数值为多少？（保留3位有效数字）
（1）用题中的已知量表示出第一宇宙速度的表达式；
（2）一颗绕地做圆周运动的卫星环绕速度为v=2100m/s，用题中的已知量表示此卫星距地面高度h的表达式；
（3）此高度的数值为多少？（保留3位有效数字）
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(0.4)
【推荐2】“天问一号”探测器（以下简称为探测器）执行我国首次火星探测任务，将一次性完成“绕落巡”三大任务。
（1）已知火星的质量为M、半径为R，万有引力常量为G，求火星表面的第一宇宙速度v。
（2）为了支持火星探测任务，在天津武清建造了一个直径为70米的天线，如图甲所示。假设探测器向周围空间均匀发射信号，探测器与地球表面距离为h时发出电磁波的功率为
，求直径为70米的天线接收到该电磁波的最大功率P。
（3）如图乙所示，当地球位于A点、火星位于B点时发射探测器，它通过地火转移轨道在C点与火星相遇。地火转移轨道是半椭圆轨道（图中椭圆轨道的实线部分），其长轴一端与地球公转轨道相切于A点，另一端与火星公转轨道相切于C点，太阳位于椭圆轨道的一个焦点O上，探测器在地火转移轨道上运行时相当于太阳系的一颗行星。地球和火星绕太阳的公转均近似为匀速圆周运动，已知地球的公转半径为
、周期为
，火星的公转半径约为1.38、周期约为1.62。
a.根据开普勒第三定律，所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。求探测器从A点通过半椭圆轨道运动到C点所用的时间t（已知
；
b.求从地球上发射探测器时，太阳与地球连线OA和太阳与火星连线OB之间的夹角θ。
（1）已知火星的质量为M、半径为R，万有引力常量为G，求火星表面的第一宇宙速度v。
（2）为了支持火星探测任务，在天津武清建造了一个直径为70米的天线，如图甲所示。假设探测器向周围空间均匀发射信号，探测器与地球表面距离为h时发出电磁波的功率为
，求直径为70米的天线接收到该电磁波的最大功率P。（3）如图乙所示，当地球位于A点、火星位于B点时发射探测器，它通过地火转移轨道在C点与火星相遇。地火转移轨道是半椭圆轨道（图中椭圆轨道的实线部分），其长轴一端与地球公转轨道相切于A点，另一端与火星公转轨道相切于C点，太阳位于椭圆轨道的一个焦点O上，探测器在地火转移轨道上运行时相当于太阳系的一颗行星。地球和火星绕太阳的公转均近似为匀速圆周运动，已知地球的公转半径为
、周期为，火星的公转半径约为1.38、周期约为1.62。a.根据开普勒第三定律，所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。求探测器从A点通过半椭圆轨道运动到C点所用的时间t（已知
；b.求从地球上发射探测器时，太阳与地球连线OA和太阳与火星连线OB之间的夹角θ。
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【推荐3】（1）要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为r2的预定轨道2上绕地球做匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为r1的近地暂行圆轨道上绕地球做匀速圆周运动。如图所示，在A点，使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道1上，当卫星到达转移轨道的远地点B时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道2运行，试求卫星从A点到B点所需的时间。已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R。
（2）物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能。若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m0的质点距质量为M0的引力源中心为r0时，其万有引力势能
（式中G为引力常数）。若卫星在椭圆轨道1上运动的过程中，动能和引力势能相互转化，它们的总量保持不变。已知卫星在轨道1上运动时的质量为m，A、B点距地表面的高度分别为h1、h2，经过A点的速度大小为v，地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R。请根据能量守恒定律求它经过B点时的速度大小；
（3）在（2）问的基础上，若要让这颗人造地球卫星能够挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，则必须使它的速度大于或等于第三宇宙速度。若把地球绕太阳公转的轨道近似认为是圆，且不计其它星体对飞行物体的作用力，地球的公转速度为29.8km/s，求第三宇宙速度。
（2）物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能。若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m0的质点距质量为M0的引力源中心为r0时，其万有引力势能
（式中G为引力常数）。若卫星在椭圆轨道1上运动的过程中，动能和引力势能相互转化，它们的总量保持不变。已知卫星在轨道1上运动时的质量为m，A、B点距地表面的高度分别为h1、h2，经过A点的速度大小为v，地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R。请根据能量守恒定律求它经过B点时的速度大小；（3）在（2）问的基础上，若要让这颗人造地球卫星能够挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，则必须使它的速度大于或等于第三宇宙速度。若把地球绕太阳公转的轨道近似认为是圆，且不计其它星体对飞行物体的作用力，地球的公转速度为29.8km/s，求第三宇宙速度。
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(0.4)
【推荐1】已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g0，不考虑地球自转的 影响并假设地球质量分布均匀且密度为
。假若在地球内部距表面深度为
的某区域存在一半径为的球形煤炭矿区，设煤炭密度为（小于），则由于该煤炭矿区区域的存在，造成的地球该区域表面重力加速度的变化量的最大值是多少？
。假若在地球内部距表面深度为的某区域存在一半径为的球形煤炭矿区，设煤炭密度为（小于），则由于该煤炭矿区区域的存在，造成的地球该区域表面重力加速度的变化量的最大值是多少？
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【推荐2】压强表示单位面积上压力的大小，是物理学中的重要概念。
（1）请导出压强的单位Pa（帕）与基本单位m（米）、kg（千克）和s（秒）之间的关系。
（2）单个粒子碰撞在某一平面上会产生一个短暂的作用力，而大量粒子持续碰撞会产生一个持续的作用力。一束均匀粒子流持续碰撞一平面，设该束粒子流中每个粒子的质量均为m、速度大小均为v，方向都与该平面垂直，单位体积内的粒子数为n，粒子与该平面碰撞后均不反弹，忽略空气阻力，不考虑粒子所受重力以及粒子间的相互作用。求粒子流对该平面所产生的压强p。
（3）理论上可以证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。利用该规律可给出一种计算恒星中心压强的模型：
恒星内部的热核反应会向外辐射大量的电磁波，当辐射所产生的扩张压力与万有引力所产生的收缩压力平衡时，恒星便稳定下来。
设想处于稳定状态的恒星是一质量分布均匀、密度为ρ、半径为R的球体。选取该恒星内部一距恒星中心为r（r≤R）、厚度为△r（△r远小于r）的小薄片A，如图所示，已知辐射所产生的扩张压力在A的内、外表面引起的压强差的绝对值为△p，引力常量为G。忽略其它天体的影响。
a.推导
和r之间的关系式，并在图中定性画出随r变化的图像；
b.若恒星表面处扩张压力所产生的压强为零，求恒星中心处的压强pC。
（1）请导出压强的单位Pa（帕）与基本单位m（米）、kg（千克）和s（秒）之间的关系。
（2）单个粒子碰撞在某一平面上会产生一个短暂的作用力，而大量粒子持续碰撞会产生一个持续的作用力。一束均匀粒子流持续碰撞一平面，设该束粒子流中每个粒子的质量均为m、速度大小均为v，方向都与该平面垂直，单位体积内的粒子数为n，粒子与该平面碰撞后均不反弹，忽略空气阻力，不考虑粒子所受重力以及粒子间的相互作用。求粒子流对该平面所产生的压强p。
（3）理论上可以证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。利用该规律可给出一种计算恒星中心压强的模型：
恒星内部的热核反应会向外辐射大量的电磁波，当辐射所产生的扩张压力与万有引力所产生的收缩压力平衡时，恒星便稳定下来。
设想处于稳定状态的恒星是一质量分布均匀、密度为ρ、半径为R的球体。选取该恒星内部一距恒星中心为r（r≤R）、厚度为△r（△r远小于r）的小薄片A，如图所示，已知辐射所产生的扩张压力在A的内、外表面引起的压强差的绝对值为△p，引力常量为G。忽略其它天体的影响。
a.推导
和r之间的关系式，并在图中定性画出随r变化的图像；b.若恒星表面处扩张压力所产生的压强为零，求恒星中心处的压强pC。
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【推荐3】如图所示，半径为R的薄球壳质量均匀分布，其单位面积的质量为，已知引力常量为G。
（1）若在球壳上A点挖去半径为r的小圆孔（
，挖去的部分可看做质点），求：球壳对位于球心O处的质量为m的物体的万有引力；
（2）如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为，石油的密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏差，重力加速度在原竖直方向（即
方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G。则：
①若在P点附近测量这种由于球形空腔而引起的“重力加速度反常”，那么反常的最大值出现在何处？
②设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），
，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常
的大小。
，已知引力常量为G。（1）若在球壳上A点挖去半径为r的小圆孔（
，挖去的部分可看做质点），求：球壳对位于球心O处的质量为m的物体的万有引力；（2）如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为
，石油的密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏差，重力加速度在原竖直方向（即方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G。则：①若在P点附近测量这种由于球形空腔而引起的“重力加速度反常”，那么反常的最大值出现在何处？
②设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），
，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常的大小。
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