【推荐1】已知正方形的边长为．

(1)将正方形对折，折痕为，如图①把这个正方形展平，再将点折到折痕上的点的位置，折痕为．
①判断的形状，并说明理由；
②求的长；
(2)如图②当时，在点由点移动到中点的过程中，直接写出面积的取值范围．

【推荐2】如图，已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），点B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，点E，H分别在边BC和边OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处．

(1)求证：四边形OECH是平行四边形；
(2)当点B运动到使得点F，G重合时，求点B的坐标，并判断四边形OECH是什么四边形？说明理由；
(3)当点B运动到使得点F，G将对角线OC三等分时，直接写出点B的坐标．

【推荐3】如图1，点是矩形边上一点（不与点，重合），直线与的延长线交于点．将沿直线折叠得到，点在矩形的内部，延长交直线于点．
   
(1)证明：；
(2)如图2，连接，若，，求周长的最小值；
(3)如图3，连接交于点，点是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．

【推荐1】某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和矩形的性质时，做了如下探究：在矩形中，点E在上，．
   
(1)【观察与猜想】
如图1，连接，过点E作，交于点F，连接，求证：；
(2)【类比探究】
如图2，点P在矩形的边上（点P不与点A、D重合），连接，过点E作，交于点F，连接．求证：；
(3)【拓展延伸】
如图3，点P在矩形的边上（点P不与点A、D重合），连接，过点E作，交于点F，连接，且的面积是2.16，求的长．

【推荐2】矩形的对角线交于点，．
（1）如图1，，，点在边上，点在边上，求证：；

（2）如图2，，，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，求的值；

（3）如图3，，，，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，直接写出线段的长度．

【推荐3】已知在正方形中，，点E为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G．

(1)如图1，当点E为的中点时，求的值；
(2)如图2，若，求的长；
(3)如图3，设与交于点M，当时，求的长．

【推荐2】如图1，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点作于点，连接交于点，连接，设运动时间为秒.
(1)连接、，当为何值时，四边形为平行四边形；
(2)求出点到的距离；
(3)如图2，将沿翻折，得，是否存在某时刻，使四边形为菱形，若存在，求的值；若不存在，请说明理由

【推荐3】如图，矩形纸片ABCD中，AB＝16，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，BG＝20.

(1)当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求的面积；
(2)当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长.

【推荐1】我们不妨定义：一组对边平行且一组对角互余的四边形称为“求真四边形”．

(1)如图1，四边形是“求真四边形”，，若，请用含的代数式表示∠D；
(2)如图2，是半圆O的直径，点C、D、E在半圆上（点C、D、E按逆时针排列），相交于点F．若，求证：四边形是“求真四边形”；
(3)在（2）的条件下，连接，已知，若为直角，求的值．

【推荐2】如图，已知线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上)，与MN的另一个交点R，连结AC，DE．
(1)当∠APB＝28°时，求∠B的度数和弧CM的度数．
(2)求证：AC＝AB．
(3)若MP=4，点P为射线MN上的一个动点，
①求MR的值
②在点P的运动过程中，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求此时所有满足条件的MQ的值．

【推荐3】已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的P点处．

(1)若图1中的点P恰好是边的中点，求的度数；
(2)如图1，已知折痕与边交于点O，连结．若与的面积比为，求边的长；
(3)如图2，（2）的条件下，擦去折痕、线段，连结，动点M在线段上（点M与点P、A不重合），动点N在线段的延长线上，且，连结交于点F，作于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长度．