【推荐1】如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为直线上方抛物线上一点，，垂足为Q，若，求点P的坐标．
(3)点M为射线上一点，将绕点M旋转得到，若直线恰好经过，且，请直接写出此时直线与抛物线交点的横坐标．

【推荐3】我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？
(1)【方法回顾】证明：三角形中位线定理．
已知：如图，在中，、分别是、的中点．
求证：，．
   
证明三角形中位线性质定理的方法很多，但多数都需要通过添加辅助线构图去完成，下面是其中一种证法的添加辅助线方法，阅读并完成填空：
添加辅助线，如图1，在中，过点作，与的延长线交于点．可证______，根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出四边形是______，根据图形性质可证得，．
   
(2)【方法迁移】如图2，在四边形中，，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．
   
(3)【定理应用】如图3，在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点，直接写出的值（用含的式子表示）．
   

【推荐2】如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在Rt△ABC中，，，，点E从点A出发，以5个单位每秒的速度沿AC向终点C运动，过点E作于点D，以DE为边向右作Rt△DEF，使，且．设点E的运动时间为t（s），（）．

(1)线段AB的长为        ．
(2)当F落在BC上时，求t的值．
(3)连接BF，当△DBF是钝角三角形时，求t的取值范围．
(4)点E关于DF的对称点为H，点G在边AB上，且，连接GH，当GH与△ABC某条边垂直时，直接写出t的值．

【推荐3】如图，在矩形中，，，点E为射线上一点，过点A，E，D作圆交射线于点F，连结，，且交于点G．

(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)当是以为腰的等腰三角形时，求的面积．