【推荐1】在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离之比是2，则称点C是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C在线段AB上时，若，则称点C是[A，B]的亮点：若点C在线段AB延长线上，，则称点C是的暗点，例如，如图1，在数轴上分别表示数，-1，2，1，0，则的点C是的亮点，又是的暗点；点D是的亮点，又是的暗点．

（1）如图2，M、N为数轴上的两点，点M表示的数为－2，点N表示的数为4，则的亮点表示的数是 ，的暗点表示的数是         ；
（2）如图3，数轴上的点A所表示的数为点所表示的数为－20，点B表示的数为40，一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．
①求当t为何值时，P是的暗点；
②求当t为何值时，P、A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．

【推荐3】对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，例如：四位正整数3975，百位数字与十位数字之和是16，个位数字与千位数字之和8，而16是8的两倍，则称四位正整数3975为“希望数”，类似的，四位正整数2934也是“希望数”．
根据题中所给材料，解答以下问题：
（1）请写出最小的“希望数”是________；最大的“希望数”是_______；
（2）对一个各个数位数字均不超过6的“希望数m，设，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，定义：，求的最大值．

【推荐1】同学们都知道,|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：
(1)求|5－(－2)|=___________．
(2)数轴上表示x和-1的两点之间的距离表示为___________．
(3)找出所有符合条件的整数x，使|x+5|+|x-2|=7,这样的整数有___________个．
(4)若x表示一个有理数，且|x-2|+|x+4|＞6，则有理数x的取值范围是_________．

【推荐2】数轴上有A、B、C个点，分别表示有理数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，移动时间为t秒．
   
(1)用含t的代数式表示P对应的数字为　　　　．
(2)当P运动到B时，Q从A出发以每秒3个单位的速度向C运动，Q到达C后，立即以同样的速度返回，运动到终点A时停止．在Q开始运动后：
①请用含t的代数式表示：Q的移动时间为　　　　，Q未到达C前Q到C的距离　　　　，Q到达C后Q到C的距离　　　　．
②P、Q两点之间的距离能否为3个单位？如果能，请求出此时t的值；如果不能，请说明理由．

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，点B、D分别在y轴、x轴上，点，，且，满足，轴于点B，轴于点D．

(1)求点A，C的坐标；
(2)如图2，连接交于点P，求证：点P为中点；
(3)若，在x轴上存在点F，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出F点的坐标．

【推荐2】如图，直线MN与x轴，y轴正半轴分别交于A，C两点，分别过A、C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，直线y=x与直线MN交于点P，已知AC=10，OA=8．

（1）求P点坐标；
（2）作的平分线OQ交直线MN与点Q，点E、F分别为射线OQ、OA上的动点，连结AE与EF，试探索AE＋EF是否存在最小值？若存在，请直接写出这个最小值；若不存在请说明理由；
（3）在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出G点的坐标．

【推荐3】已知：点A(4，0)，点B是y轴正半轴上一点，如图1，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC．

（1）当点B坐标为(0，1)时，求点C的坐标；

（2）如图2，以OB为直角边作等腰直角△OBD，点D在第一象限，连接CD交y轴于点E．在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由．