【推荐1】如图，等边的边长为4，M为边的中点，动点P从B点出发，沿着方向匀速运动，到点C时停止运动，过点P作于点Q，设点P的运动路程为x，点M，Q的距离为y．

(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质：_______；
(3)结合函数图象，当时，自变量x的取值范围为________．

【推荐2】如图1所示，在三角形纸片ABC中，∠BAC=78°，AC=10．数学实践课上，小敏用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图2所示)，并通过上网查到以下几个数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．请你帮助她解决下列问题：

（1）∠ABC=       °；
（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．

【推荐3】如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，
（1）若∠BAE=30°，AE=3，求菱形ABCD的周长．
（2）作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD．
（3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE=4，BE=8，四边形CDGE和AGD的面积分别是S₁和S₂，求S₁﹣S₂的值．

【推荐1】定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解；如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）．

（2）问题探究，如图2，在中，，，，与是共边直角三角形．连接．当时，求的长．

（3）拓展延伸，如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分．

【推荐2】阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．


经过讨论，同学们得到以下思路：

如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．

完成下面问题：
（1）这一思路的辅助线的作法是：　 　                          ．
（2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应的图形，并写出证明过程）．

【推荐3】如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，求的长度是多少？

【推荐1】如图，△ABC内接于⊙O, AD是⊙O直径, E是CB延长线上一点, 且∠BAE=∠C.

（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若EB=AB, , AE=24，求EB的长及⊙O的半径．

【推荐2】已知为的直径，C为上一点，D为的延长线上一点，连接．

   
(1)如图1，E为上一点，若，且，求证：与相切；
(2)如图2，与相交于点F，若，，，求、、弧围成的图形的面积．

【推荐3】如图，半径是3的中，与相切于点，与交于点，点是延长线上一点，且，E是半圆上的一点，．
   
(1)求的度数；
(2)求证：是的切线；
(3)求图中阴影部分的面积．

【推荐1】如图，已知AC是⊙O的直径，B为⊙O上一点，D为的中点，过D作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：EF为⊙O的切线；
（Ⅱ）若AB＝2，∠BDC＝2∠A，求的长．

【推荐2】如图，是的直径，点C是的中点，于点E，交于点

(1)求证：；
(2)若，求的长度．

【推荐3】如图，将边长为1，中心为点O的正方形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动地每秒转动90°．
(1)第1秒点O经过的路线长为______，第2秒点O经过的路线长为______，第2013秒点O经过的路线长为______．
(2)分别求出第1秒、第2秒、第2013秒点A经过的路线长．