【推荐1】【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．甲同学探究此问题的方法：延长到点，使．连接．先证明，再证，请你根据甲同学的解题思路直接写出，，之间的数量关系　　　　．
【类比分析】
像（1）题一样，当已知（或求证）一条线段等于另外两条线段的和（或差）时，经常用到这种方法——截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，这样可以利用转化思想，把两条线段的和（或差）转化成一条线段，从而降低解题难度．请你用这种方法解答（2）．
（2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点．且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，且，请直接写出与之间的数量关系．

【推荐2】已知内接于，点F是弧的中点，连接交于点H．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，是的高，延长交于点K，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点E，连接，点M在上，连接．若，
①请按步骤在图3中先作图：连接，并延长交于点P，再求证：；
②计算；
③求的长．

【推荐1】在等腰三角形中，．点E为上一点，连接．
   
(1)如图1，若，过点C作交BE延长线于点D，连接，过点A作交于点F，连接，求证：；
(2)如图2，过A作交延长线于点D，将绕着点A逆时针旋转至，连接，使得于点G，与交于点M，若点M为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若，，将沿着翻折得到，点落在BE延长线上，交于点P，点Q、R分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方．

【推荐2】如图1，两等腰直角三角形和有一条边与在同一直线上，，．设，点在线段上，．

（1）当时， ；
（2）如图2，当时，绕点逆时针旋转，求的值；
（3）如图3，当时，绕点逆时针旋转度，原题中其它条件不变．请直接写出的值（用含的代数式表示）．

【推荐3】在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（           ，             ）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为           ；
（2）如图3，分别以锐角三角形的三边，，为边向外作正方形，，，点，，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系．

【推荐1】如图，已知在中，，，点为边上一动点（与点、不重合），点为上一点，，过点作，垂足为点，交射线于点．
   
(1)如果点为边的中点，求的正切值；
(2)当点在边上时，设，，求关于的函数解析式及的取值范围；
(3)联结，如果与相似，求线段的长．