【推荐1】如图，在四边形中，．过点D作，延长至点F，使，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)求的长．

【推荐2】如图，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接，，点、分别是线段、上的两个动点，完成以下问题．

(1)发现问题：
当，时，的形状是______．
(2)类比探究：
当，时，（1）结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．
(3)拓展应用：
若，，在、运动过程中，请直接写出的面积的最小值．

【推荐3】如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点M、N，连接、．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若四边形的周长为52，，求的长．

【推荐1】如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为6，，求的长．

【推荐2】如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠A=60°，点E是DC边的中点，P是边BC上的动点，PE的延长线与AD的延长线交于点F，连接PD，CF．

(1)求证：四边形PCFD是平行四边形；
(2)当BP等于何值时，四边形PCFD是矩形？请说明理由；
(3)当BP等于何值时，四边形PCFD是菱形？请说明理由．

【推荐3】为了满足市民的需求，某市在一条小河的两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①；②．经勘测，点在点的正东方，点在点的正北方千米处，点在点的正西方千米处，点在点的北偏东方向，点在点的正南方，点在点的南偏西方向．由于时间比较宽松，小明决定选择一条较长线路进行锻炼，请计算说明小明应该选择线路①还是线路②呢？（参考数据：，）

【推荐1】如图，在中，点、分别为边、的中点．

   

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)延长至点，使，若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．

【推荐2】如图，在菱形中，，是对角线上一点．是线段延长线上一点，且，连接．

(1)如图1，若是线段上任意一点，连接，求证：．
(2)在第（1）题的前提下，求证：．
(3)如图2，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，求的值．

【推荐3】（1）如图，在矩形中，．求：①矩形的面积；②对角线的长．

（2）如图，在菱形中，，，，为垂足．
①求证：．
②若，求的大小．