1 . 如图，在中，，点D为平面上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，取的中点F，取的中点G，连接，取的中点M，连接．

        

(1)依题意补全图形；
(2)猜想的度数（用含α的式子表示），并证明．

4 . 如图，在等边三角形中，，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为________．

5 . 在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图，，过点作交于点，将绕点逆时针方向旋转．

(1)将旋转至如图的位置时，连接，求证：．
(2)若将旋转至三点在同一条直线上时，求线段的长．

6 . 在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？

【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且．
（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______．
【类比探究】
（2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______．

7 . 在等腰中，，，将斜边绕点A逆时针旋转一定角度得到线段，交于点G，过点C作于点F．

(1)如图1，当旋转时，若，求的长；
(2)如图2，当旋转时，连接，，延长交于点E，连接，求证：；
(3)如图3，点M是边上一动点，在线段上存在一点N，使的值最小时，若，请直接写出的面积．