1 . 如图，已知，射线交于点，交于点．

(1)尺规作图：过点（在的上方）作
(2)求证：．
证明：（已知），且，
（________），
，（________）
________
又（已知），
（________）
．

2 . 完成下面推理过程．
如图，交于点F，垂足为点M，，，求证：．

证明：∵，，
∴ ，
∴（                 ），
∴           ，（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴          ，（等量代换）
∴，（               ）
∵，（已知）
∴          ，（内错角相等，两直线平行）
∴            ．（                      ）

3 . 已知：如图所示，交于点O，平分与相交于点F，平分与相交于点E，．补全下列证明过程．

求证：．
证明：∵，
∴（________），
∴（_______）．
∵平分，平分，
∴________，
________（________），
∴（________）．

4 . 小明在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小明的操作：如图，在四边形中，，是对角线．

   

(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：垂直平分，
①______，，
，

在和中

，
③______，
，
四边形为平行四边形，
又④______，
四边形为菱形．
请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______．

5 . 如图，，．
求证：．
根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程．
证明：∵（                ），
∴（                ）．
∴（                ）．
又∵（已知），
∴        ．
∴        ．
∴                （________），
即．

6 . 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．只保留作图痕迹

已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点．
求证：．
证明：四边形是平行四边形，
．
①＿＿＿②
垂直平分，
＿＿＿＿③
又＿＿＿＿④＿＿＿⑤
．
．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点＿＿＿⑥

7 . 如图，、、和和、、分别在同一直线上，且，．求证：．

   

请把下列证明过程补充完整：
证明：，
又（对顶角相等），
____________（等量代换）．
__________________（                ）
（______）
又，
（等量代换）
___________（_______）
（______）

8 . 如图，已知，，，求证：．把以下证明过程补充完整，并在括号内填写理由或数学式．

证明：
（已知）
_________（_____________________________）
（_____________________________）
又（已知）
________（等量代换）
_________（_____________________________）
（_____________________________）
（已知）
（垂直定义）
（等量代换）
（垂直定义）

9 . （1）问题背景：小刚遇到一个这样问题：如图，两条相等的线段，交于点，，连接，，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题．
证明：过点作且使，连接，
四边形为平行四边形，则       ，

       ，
又，
为等边三角形，
       ，
，即．
请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题：
（2）类比运用：如图，与相交于点，，，，，，求线段的长；
（3）联系拓展：如图3，的三条中线分别为，，．三条中线的交点为．若的面积为，则以，，的长度为三边长的三角形的面积等于       (请直接写出答案)．

10 . 综合与实践

【课本再现】
（1）如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．在实验与探究中，小州发现通过证明，可得．请帮助小州完成证明过程．
【类比探究】
（2）如图②，若四边形是矩形，为对角线上任意一点，过作，交于点，当时，求证：．
（3）如图③，若四边形是平行四边形，为对角线上任意一点，点在上，且，求证：．