1 . 小明同学学习了《圆》这一章后，对圆的数学史产生了兴趣，下面是他查阅整理的相关材料．
请结合以上材料与所学知识回答下列问题：
(1)根据图（2），运用材料一的内容，完成对材料二的证明．
已知：直线
是
的一条割线，与交于点A，B，
与相切，切点为T，求证：______．
证明：……
(2)如图（3），将直线绕点P旋转至过圆心O，恰好
，若的长为
，求
的长．
材料一：弦切角定理是有关圆的重要定理之一，其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数（顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角）．如图（1）所示，线段所在的直线与相切于点C， ， 为的弦，则 为其中的一个弦切角（ ， 也是弦切角），有 ．材料二：欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．如图（2）， 是的一条切线，而直线与有两个交点A，B，则将直线称为的割线．数学家们发现：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长的平方等于这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积． |
(1)根据图（2），运用材料一的内容，完成对材料二的证明．
已知：直线
是的一条割线，与交于点A，B，与相切，切点为T，求证：______．证明：……
(2)如图（3），将直线
绕点P旋转至过圆心O，恰好，若的长为，求的长．
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2 . 阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
已知：如图，
于D，
于G，
．
求证：
平分
．
证明：∵于D，于G，（已知）
∴
，（ 的定义）
∴
，（ ）
∴
，（ ）
，（ ）
又∵，（已知）
∴ = ，（ ）
∴平分．（ ）
已知：如图，
于D，于G，．求证：
平分．证明：∵
于D，于G，（已知）∴
，（ 的定义）∴
，（ ）∴
，（ ），（ ）又∵
，（已知）∴ = ，（ ）
∴
平分．（ ）
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3 . 完成下面的证明：
如图，
，垂足分别为 
，且 
．求证：
．
（已知）
，
（垂直的定义），
．
（同位角相等，两直线平行）．
（ ）
又
（已知），
．
（ ）
如图，
，垂足分别为 ，且 ．求证：．
（已知） ， （垂直的定义），． （同位角相等，两直线平行）．（ ）又
（已知），．（ ）
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4 . 按要求完成下列证明：
已知：如图，
，直线
交
于点C，
，求证：
．
（______），
（______）．
（______），
______
（______），
（______）．
已知：如图，
，直线交于点C，，求证：．
（______），（______）．（______），______（______），（______）．
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5 . 完成下面的证明：已知：如图，
．求证：
．
作
．
__________（ ）．
，，
．
__________（ ）
（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
．求证：．
作．__________（ ）．，，．__________（ ）（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
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名校
6 . 请你补全证明过程或推理依据：
已知：如图，四边形
，点、
分别在边两方的延长线上，连接
，若
，
．求证：
．
点在的延长线上（已知）
又
（已知）
又
（已知）
已知：如图，四边形
，点、分别在边两方的延长线上，连接，若，．求证：．
点在的延长线上（已知） 又
（已知） 又
（已知）
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7 . 如图，
，
．
求证：．
根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程．
证明：∵（ ），
∴
（ ）．
∴
（ ）．
又∵（已知），
∴
．
∴
．
∴
（________），
即．
，．求证：
．根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程．
证明：∵
（ ），∴
（ ）．∴
（ ）．又∵
（已知），∴
．∴
．∴
（________），即
．
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8 . 请补全证明过程和推理理由：
如图，
，
．
证明：∵
，
∴ ( )．
∴
( )．
又∵
，
∴ ．
∴ ( )．
∴ ( )．
如图，
，
．证明：∵
，∴
( )．∴
( )．又∵
，∴ ．
∴
( )．∴
( )．
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名校
9 . （1）如图1，已知正方形，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与点A重合，当直角的一边与相交于点E，另一边与的延长线相交于点F时，求证：
；
（2）如图2，将图1中的直角改为
，当
的一边与的延长线相交于点E，另一边与的延长线相交于点F，连接，线段
和之间有怎样的数量关系？请加以证明．
，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与点A重合，当直角的一边与相交于点E，另一边与的延长线相交于点F时，求证：；（2）如图2，将图1中的直角改为
，当的一边与的延长线相交于点E，另一边与的延长线相交于点F，连接，线段和之间有怎样的数量关系？请加以证明．
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10 . 已知：如图，
，求证：
．作
，则
________________，
，
（________________），
________________．
（________________相等，两直线平行）．
（若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行）．
，求证：．
作，则________________，，（________________），________________．（________________相等，两直线平行）．（若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行）．
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