1 . 对于实数a，b，定义新运算“
”：
，例如：
，因为
，所以
．
(1)求
的值；
(2)若
，
是一元次方程
的两个根，求
的值．
”：，例如：，因为，所以．(1)求
的值；(2)若
，是一元次方程的两个根，求的值．
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2 . 如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推．
(1)阴影部分的面积是______；
(2)以下是甲，乙两位同学求
的方法；
甲同学的方法：利用已给正方形图形求，
；
乙同学的方法：①
②
②－①即可．
根据两位同学的方法，你认为
______；
(3)
______；
(4)计算：
；
(5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出
的值．
(1)阴影部分的面积是______；
(2)以下是甲，乙两位同学求
的方法；甲同学的方法：利用已给正方形图形求，
；乙同学的方法：
①②②－①即可．
根据两位同学的方法，你认为
______；(3)
______；(4)计算：
；(5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出
的值．
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3 . 观察下列算式：
，
，
①，
②，
，
，
(1)①________，②________；
(2)求
的个位数字．
，，①，②，，，(1)①________，②________；
(2)求
的个位数字．
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名校
4 . 学习了线段的中点之后，小明利用数学软件
做了n次取线段中点实验：如图，设线段
，第1次，取
的中点
；第2次，取
的中点
；第3次，取
的中点
，第4次，取
的中点
；…
(1)请完成下列表格数据．
(2)小明对线段
的表达式进行了如下化简：
因为
，
所以
，
两式相加，得
，
所以
．
请你参考小明的化简方法，化简
的表达式．
(3)类比猜想：
_____，
=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____．
做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；…(1)请完成下列表格数据．
| 次数 |  | 线段 的长 |
| 第1次 |  |  |
| 第2次 |  |  |
| 第3次 |  |  |
| 第4次 |  |  |
| 第5次 | ①______ | ②________ |
| … | … | … |
(2)小明对线段
的表达式进行了如下化简：因为
，所以
，两式相加，得
，所以
．请你参考小明的化简方法，化简
的表达式．(3)类比猜想：
_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____．
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2024-01-24更新
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48次组卷
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16卷引用：河南省周口市川汇区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题
河南省周口市川汇区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题（已下线）专题33 和线段有关的计算-【微专题】2022-2023学年七年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版）（已下线）6.1 线段、射线、直线-2022-2023学年七年级数学上册课后培优分级练（苏科版）（已下线）4.2 直线、射线、线段（培优三阶练）-2022-2023学年七年级数学上册课后培优分级练（人教版）（已下线）专题4.24 《基本平面图形》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）吉林省长春市东北师范大学附属中学2022-2023学年七年级下学期综合检测数学试卷（已下线）专题4.12 线段单（双）中点、多中点模型（分层练习）（培优练）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）（已下线）专题4.17 线段单（双）中点、多中点模型（分层练习）（培优练）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）（已下线）专题6.12 线段单（双）中点、多中点模型（分层练习）（培优练）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）（已下线）专题4.8 线段中的四种常见思想方法-2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列（人教版）（已下线）专题4.8 线段中的四种常见思想方法-2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列（北师大版）（已下线）专题6.8 线段中的四种常见思想方法-2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列（苏科版）（已下线）专题6.8 线段中的四种常见思想方法-2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列（浙教版）山东省青岛市青岛高新技术产业开发区青岛实验学校2023-2024学年七年级上学期期末数学试题（已下线）专题4.8 线段中的四种常见思想方法-2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列（沪科版）山东省青岛实验学校2023-2024学年七年级上学期期末数学试题
5 . 【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于
这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作
，读作“
的4次商”．
【概念归纳】一般地，我们把
个
（
）相除记作
，读作“的次商”
(1)【概念理解】直接写出结果：
_______________．
(2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号）
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，
；③
；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数
(3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：
．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂） 的形式：
____________________；
__________．
(4)计算：
．
这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”．【概念归纳】一般地，我们把
个（）相除记作，读作“的次商”(1)【概念理解】直接写出结果：
_______________．(2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号）
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数
，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数
(3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：
．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成____________________；__________．(4)计算：
．
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6 . 小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如
，
等，类比有理数的乘方．小明把记作
，记作
．
(1)直接写出计算结果，
_____，
_____；
(2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 _____．（填序号）
①对于任何正整数n，都有
；
②
；
③
；
④对于任何正整数n，都有
．
(3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式
（n为正整数，
），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
(4)请利用（3）问的推导公式计算：
．
，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作．(1)直接写出计算结果，
_____， _____；(2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 _____．（填序号）
①对于任何正整数n，都有
；②
；③
；④对于任何正整数n，都有
．(3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式
（n为正整数，），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）(4)请利用（3）问的推导公式计算：
．
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7 . 【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数
均不等
的除法运算叫做除方，如
，
等
类比有理数的乘方，我们把记作
，读作“
的圈
次方”，记作
，读作“
的圈
次方”．
一般地，把
记作
，读作“的圈次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：
．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算．
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
；
．
（3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式：
．
（4）利用（3）的结论计算：
规定：求若干个相同的有理数
均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地，把
记作，读作“的圈次方”．【初步探究】
（1）直接写出计算结果：
．【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算．
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
； ．（3）将一个非零有理数
的圈次方写成幂的形式： ．（4）利用（3）的结论计算：
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8 . 数列：0，2，4，8，12，18，……叫大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．该数列中的奇数项和偶数项分别用代数式
，
表示，如第1个数为
，第2个数为
，第3个数为
，…数轴上现有一点P从原点出发，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时在原点，记为；第2秒点向左跳2个单位，记为，此时点表示的数为
；第3秒点向右跳4个单位，记为，此时点表示的数为2；…按此规律跳跃，点
表示的数为______ ．
，表示，如第1个数为，第2个数为，第3个数为，…数轴上现有一点P从原点出发，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时在原点，记为；第2秒点向左跳2个单位，记为，此时点表示的数为；第3秒点向右跳4个单位，记为，此时点表示的数为2；…按此规律跳跃，点表示的数为
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9 . 求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如，
等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作
，读作“的圈4次方”．一般地，把
（）记作
，读作“a的圈n次方”．
(1)直接写出计算结果：
________，
________；
(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
除方→
→乘方的形式
仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
________；
________；
________．
(3)由（2）中的算式归纳：有理数a（）的圈n（
）次方写成乘方的形式等于________．
(4)计算
，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（）记作，读作“a的圈n次方”．(1)直接写出计算结果：
________，________；(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
除方→
→乘方的形式仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
________；________；________．(3)由（2）中的算式归纳：有理数a（
）的圈n（）次方写成乘方的形式等于________．(4)计算
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名校
10 . 【探索实践】
小附同学发现，在某计算器的使用中使用模式2，输入算式
得到的结果为
，他发现与自己运算结果不同，他首先输入了一些一次运算的算式，例如
，
，
，
等，发现结果没发生变化，他又输入了一些算式，以下是计算器呈现的结果：
；
；
小附很快就发现了模式2的运算规律，他还进一步研究了计算器上的一个按钮“^”，他发现，
；
，请根据小附的发现，在该计算器模式2下解决下面的问题：
(1)
___________；
___________；
(2)小附发现的模式2的运算规律与常规运算不同的是：__________；
(3)小附使用“STO”按钮分别对A，B，C三个字母存入数字1，，3，求上图中代数式
的值；
(4)写出一个含有“×”，“+”，“^”，“A”，“B”，“C”，“2”代数式（运算符号、字母和数字仅用一次），且当使用（3）中存入的数字时，代数式的值为1；
(5)求代数式
的值（结果用含的代数式表示）．
小附同学发现，在某计算器的使用中使用模式2，输入算式
得到的结果为，他发现与自己运算结果不同，他首先输入了一些一次运算的算式，例如，，，等，发现结果没发生变化，他又输入了一些算式，以下是计算器呈现的结果：；；小附很快就发现了模式2的运算规律，他还进一步研究了计算器上的一个按钮“^”，他发现，；，请根据小附的发现，在该计算器模式2下解决下面的问题： (1)
___________；___________；(2)小附发现的模式2的运算规律与常规运算不同的是：__________；
(3)小附使用“STO”按钮分别对A，B，C三个字母存入数字1，
，3，求上图中代数式的值；(4)写出一个含有“×”，“+”，“^”，“A”，“B”，“C”，“2”代数式（运算符号、字母和数字仅用一次），且当使用（3）中存入的数字时，代数式的值为1；
(5)求代数式
的值（结果用含的代数式表示）．
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