1 . 对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以．
(1)求的值；
(2)若，是一元次方程的两个根，求的值．

2 . 学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；…

(1)请完成下列表格数据．

次数		线段的长
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次	①______	②________
…	…	…

(2)小明对线段的表达式进行了如下化简：
因为，
所以，
两式相加，得，
所以．
请你参考小明的化简方法，化简的表达式．
(3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____．

3 . 阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中，所以3157是“亚运数”．
(1)填空：
①21______________是“亚运数”（在横线上填上两个数字）；
②最小的四位“亚运数”是______________．
(2)若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”．
(3)已知一个大于1的正整数可以分解成的形式（均为正整数），在的所有表示结果中，当取得最小时，称“”是的“最小分解”，此时规定：，
例：，因为，所以，求所有“冠军数”的的最大值．

4 . 【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”．
【解决问题】
(1)数61　 　“完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
(2)已知，则　 　；
(3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值；
【拓展结论】
(4)已知、满足，求的最小值．

5 . 数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为．
第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为．
第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，．

第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是．
第次分割图可得等式：．
            
探究二：计算．
第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为．
第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为．
第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，．

第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第次分割图可得等式：，
两边同除以，得．
           
探究三：计算．
（仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
   
解决问题：根据前面探究结果：


__________．

__________．（只填空，其中，都是正整数，且，）
拓广应用：计算．

7 . 对于一个三位自然数，将各个数位上的数字分别倍后取个位数字，得到三个新的数字，，，我们对自然数规定一个运算：例如：，其各个数位上的数字分别倍后再取个位数字分别是：，则．根据材料内容，那么______．若已知两个三位数，为整数，且，，若能被整除，则的最大值是______．

8 . 已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成两位数，并记．
例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”；
此时．
又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”．
(1)判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；
(2)若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M．

9 . 问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：或，∴，这就验证了两数和的完全平方公式．

问题提出：
如何利用图形几何意义的方法推证：，如图2，A表示1个1×1的正方形，即：，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：，而A、B、C、D恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：．
(1)尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：___________（要求自己构造图形并写出推证过程）．
(2)类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：___________（要求直接写出结论，不必写出解题过程）．
(3)实际应用：图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：个，棱长是2的正方体有：个，棱长是3的正方体有：个，棱长是4的正方体有：个，然后利用（3）类比归纳的结论，可得：___________=___________．
(4)图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有___________个．
(5)逆向应用：如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有3025个，那么棱长为1的小正方体一共有___________个．

10 . 观察下列解题过程：
计算：的值
解：设①，
则②，
由②－①，得.即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：