23. 问题再现:
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.例如:利用图形的几何意义推证完全平方公式.将一个边长为
a的正方形的边长增加
b,形成两个矩形和两个正方形,如图1,这个图形的面积可以表示成:
或
,∴
,这就验证了两数和的完全平方公式.
问题提出:
如何利用图形几何意义的方法推证:
,如图2,
A表示1个1×1的正方形,即:
,
B表示1个2×2的正方形,
C与
D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:
B、
C、
D就可以表示2个2×2的正方形,即:
,而
A、
B、
C、
D恰好可以拼成一个
的大正方形,由此可得:
.
(1)尝试解决:请你类比上述推导过程,利用图形几何意义方法推证:
___________(要求自己构造图形并写出推证过程).
(2)类比归纳:请用上面的表示几何图形面积的方法探究:
___________(要求直接写出结论,不必写出解题过程).
(3)实际应用:图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体,图中大小正方体一共有多少个?为了正确数出大小正方体的总个数,我们可以分类统计,即分别数出棱长是1,2,3和4的正方体的个数,再求总和.例如:棱长是1的正方体有:
个,棱长是2的正方体有:
个,棱长是3的正方体有:
个,棱长是4的正方体有:
个,然后利用(3)类比归纳的结论,可得:___________=___________.
(4)图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体,图中大小正方体一共有___________个.
(5)逆向应用:如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中,通过上面的方式数出的大小正方体一共有3025个,那么棱长为1的小正方体一共有___________个.