1 . 根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容．
a．小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算：
，
，
，
；
b．小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果：
算式：________①___________；
c．小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以______②_______作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位；
d．小亚也参与了讨论，他们尝试用含有字母的式子表示上述规律：
如果设一个两位数十位上的数是
（
，且为整数），个位上的数是
（
，且为整数），那么这个两位数可以表示为
，则另一个两位数可以表示为_______③_______，上述规律可以表示为_________④_________（用含，的式子表示）；
e．他们尝试对这个规律进行证明：________⑤___________．
a．小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算：
，，，；b．小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果：
算式：________①___________；
c．小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以______②_______作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位；
d．小亚也参与了讨论，他们尝试用含有字母的式子表示上述规律：
如果设一个两位数十位上的数是
（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为_______③_______，上述规律可以表示为_________④_________（用含，的式子表示）；e．他们尝试对这个规律进行证明：________⑤___________．
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2 . 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．
(1)如图①是2023年11月份的日历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置
，
上的数相乘，位置
，
上的数相乘，再相减，例如：
______，
______，不难发现，结果都等于______．（请完成填空）
(2)设“Z”字型框架中位置
上的数为
，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
(3)如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数乘积为17，那么中间位置上的数
______．
(1)如图①是2023年11月份的日历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置
，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减，例如：______，______，不难发现，结果都等于______．（请完成填空）(2)设“Z”字型框架中位置
上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．(3)如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数乘积为17，那么中间位置上的数
______．
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3 . 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2022年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减．例如：
，
；
(1)如图，设日历中所示的方框左上角数字为x，则上面发现的规律用含x的等式可表示为______；
(2)利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
，；(1)如图，设日历中所示的方框左上角数字为x，则上面发现的规律用含x的等式可表示为______；
(2)利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
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名校
4 . 对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式
，若将其写成
的形式，就能看出无论字母取何值，它都表示正数；若将它写成
的形式，就能与代数式
建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律：
(1)补全上表中的数据；
(2)观察表格可以发现：当
时，
，则当
时，
.我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为
①若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为
，求代数式；
②已知代数式
参照代数式
取值延后，请直接写出
的值
，若将其写成的形式，就能看出无论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： |  |  |  |  | |  |
| |  |  | | | ___ | |
|  | | | __ | ___ | ___ |
(2)观察表格可以发现：当
时，，则当时，.我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为①若代数式
参照代数式取值延后，相应的延后值为，求代数式；②已知代数式
参照代数式取值延后，请直接写出的值
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2022-05-13更新
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523次组卷
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2卷引用：北京市师达中学2022-2023学年八年级上学期11月阶段练习数学试题
名校
5 . 将连续的偶数2，4，6，8，…排成如下表，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：
（1）十字框中的五个数的和等于 ．
（2）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和是 ．
（3）在移动十字框的过程中，若框住的五个数的和等于2020，这五个数从小到大依次 ， ， ， ， ．
（4）框住的五个数的和能等于2019吗？
（1）十字框中的五个数的和等于 ．
（2）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和是 ．
（3）在移动十字框的过程中，若框住的五个数的和等于2020，这五个数从小到大依次 ， ， ， ， ．
（4）框住的五个数的和能等于2019吗？
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2021-11-03更新
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595次组卷
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4卷引用：北京交大附中2021-2022学年七年级上学期期中数学试卷
6 . 观查下列各等式：
．
﹍﹍
根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：
（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的 等于它们的 ；
（2）填空： -4= ÷4；
（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征； - = ÷ ；
（4）如果用y表示等式左边第一个实数，用x表示等式左边第二个实数（x≠0且x≠1）．x与y之间的关系可以表示为： ．
．﹍﹍
根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：
（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的 等于它们的 ；
（2）填空： -4= ÷4；
（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征； - = ÷ ；
（4）如果用y表示等式左边第一个实数，用x表示等式左边第二个实数（x≠0且x≠1）．x与y之间的关系可以表示为： ．
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