2023九年级上·全国·专题练习
1 . 【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成
（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为
，所以5是“完美数”．
(1)【解决问题】
数11 “完美数”（填“是”或“不是”）；数53 “完美数”（填“是”或“不是”）；
(2)【探究问题】
已知
，则
；
(3)【拓展提升】
已知
（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．
我们定义：一个整数能表示成
（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．(1)【解决问题】
数11 “完美数”（填“是”或“不是”）；数53 “完美数”（填“是”或“不是”）；
(2)【探究问题】
已知
，则 ；(3)【拓展提升】
已知
（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．
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2 . 我们知道，将完全平方公式
适当地变形，可以解决很多数学问题，请你观察、思考，并解决以下问题：
，
，则
的值为________；
②若x满足
，求
的值．
(2)【拓展应用】如图，某学校有一块梯形空地
，
于点E，
，
，该校计划在三角形
和三角形
区域内种花，在剩余区域内种草，经测量，种花区域的面积和为
，
，求种草区域的面积和．
适当地变形，可以解决很多数学问题，请你观察、思考，并解决以下问题：
，，则的值为________；②若x满足
，求的值．(2)【拓展应用】如图，某学校有一块梯形空地
，于点E，，，该校计划在三角形和三角形区域内种花，在剩余区域内种草，经测量，种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和．
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3 . 阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程
的两个根为
，则
，
；
材料2：已知一元二次方程
的两个实数根分别为m，n，求
的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴
，
则
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程
的两个根为，则
，
；
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求
的值；
(3)思维拓展：已知实数s、t满足
，且
，求
的值．
材料1：若关于x的一元二次方程
的两个根为，则，；材料2：已知一元二次方程
的两个实数根分别为m，n，求的值．解：∵一元二次方程
的两个实数根分别为m，n，∴
，则
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程
的两个根为，则 ， ；(2)类比应用：已知一元二次方程
的两根分别为m、n，求的值；(3)思维拓展：已知实数s、t满足
，且，求的值．
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名校
4 . 配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为
，所以10是“完美数”．
解决问题：
(1)下列各数中，“完美数”有______（填序号）；
①29 ②48 ③13 ④28
(2)若
可配方成
（m，n为常数），则mn的值______；
(3)已知
（a，b是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展应用：
(4)已知实数a，b满足
，求
的最小值．
（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”．解决问题：
(1)下列各数中，“完美数”有______（填序号）；
①29 ②48 ③13 ④28
(2)若
可配方成（m，n为常数），则mn的值______；(3)已知
（a，b是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．拓展应用：
(4)已知实数a，b满足
，求的最小值．
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2022-06-09更新
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208次组卷
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3卷引用：贵州省六盘水市2021-2022学年七年级下学期期中数学试题
名校
5 . 如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝
，则x﹣y＝ ；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝
，则x﹣y＝ ；（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．
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2020-05-22更新
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689次组卷
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7卷引用：贵州省贵阳市南明区第一实验中学2022-2023学年七年级下学期3月月考数学试题
名校
6 . 阅读材料：若
，求m、n的值．
解：
，
，
，
，
．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知
，求
的值；
(2)已知等腰
的三边长a、b、c都是正整数，且满足
，求△ABC的周长；
(3)已知
，
，求
的值．
，求m、n的值．解：
， ，，，．根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知
，求的值；(2)已知等腰
的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长；(3)已知
，，求的值．
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2024-04-13更新
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237次组卷
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14卷引用：贵州省六盘水市盘州市第八中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题
贵州省六盘水市盘州市第八中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题北师大版九年级数学（上）第二章《一元二次方程》同步测试：2.2用配方法解一元二次方程2016年北师大版九年级数学上册同步练习《2.2 用配方法解一元二次方程》（已下线）【新东方】 【2021.5.18】【YW】【初二下】【数学】【YW0020】（已下线）专题21.31 《一元二次方程》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题2.31 《一元二次方程》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题10 配方法之拓展探究-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（北师大版）广东省清远市清新区第二中学 、山塘镇初中等五校2022-2023学年九年级上学期期中联考数学试题江苏省南京市栖霞区南京外国语学校仙林分校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题【区级联考】江苏省苏州市工业园区2018-2019学年第二学期七年级数学期中教学调研卷（已下线）专题01 一元二次方程（经典基础题7种题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2023-2024学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（苏科版）四川省成都市简阳市雷家学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题江苏省 宿迁市沭阳县外国语实验学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题2024学年四川省内江市威远县凤翔中学九年级下学期一模考试数学模拟试题
7 . 综合实践：如图1，长方形的两边长分别为
，
；如图2，长方形的两边长分别为
，
．（其中m为正整数）
______；图2中长方形的面积
______．
(2)现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．
①正方形的边长为_____；（用含m的代数式表示．）
②探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积
的差（即
）是个常数，并求出这个常数．
（提示：
）
，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数）
______；图2中长方形的面积______．(2)现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．
①正方形的边长为_____；（用含m的代数式表示．）
②探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积
的差（即）是个常数，并求出这个常数．（提示：
）
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8 . 阅读材料：若，求
、
的值．
解：
，
，
，
，
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知
，求
的值；
(2)已知
的三边长
、
、
都是正整数，且满足
，求的最大边的值；
(3)已知
，
，则
．
，求、的值．解：
，，，，，．根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知
，求的值；(2)已知
的三边长、、都是正整数，且满足，求的最大边的值；(3)已知
，，则 ．
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2022-10-04更新
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724次组卷
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5卷引用：贵州省遵义市遵义市第一初级中学2021-2022学年八年级上学期12月月考数学试题
贵州省遵义市遵义市第一初级中学2021-2022学年八年级上学期12月月考数学试题（已下线）专题14.1 整式的乘法 重难点题型16个-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（人教版）（已下线）专题14.2 乘法公式-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（人教版）（已下线）专题9.1 整式乘法与因式分解 重难点题型15个-2022-2023学年七年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（苏科版）（已下线）作业12 乘法公式的综合运用-2023年【暑假分层作业】七年级数学（苏科版）
9 . 如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，四边形FCEO是正方形，Rt△AOF≌Rt△AOD，Rt△BOE≌Rt△BOD．
若设正方形的边长为x，则可以探究x与直角三角形ABC的三边a，b，c之间的关系．
探究：∵Rt△BOE≌Rt△BOD，
∴BD＝BE＝a﹣x，
∵Rt△AOF≌Rt△AOD，
∴AD＝AF＝b﹣x，
∵AB＝BD+AD，
∴a﹣x+b﹣x＝c，
∴x＝
．
（1）小颖同学发现利用S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC也可以探究正方形的边长x与直角三角形ABC的三边a，b，c之间的关系．请你根据小颖的思路，完成她的探究过程．
（2）请你结合探究和小颖的解答过程验证勾股定理．
若设正方形的边长为x，则可以探究x与直角三角形ABC的三边a，b，c之间的关系．
探究：∵Rt△BOE≌Rt△BOD，
∴BD＝BE＝a﹣x，
∵Rt△AOF≌Rt△AOD，
∴AD＝AF＝b﹣x，
∵AB＝BD+AD，
∴a﹣x+b﹣x＝c，
∴x＝
．（1）小颖同学发现利用S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC也可以探究正方形的边长x与直角三角形ABC的三边a，b，c之间的关系．请你根据小颖的思路，完成她的探究过程．
（2）请你结合探究和小颖的解答过程验证勾股定理．
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10 . 小明在学完《整式的乘除》后发现，许多的计算法则或公式均可由图形变换过程中的面积关系来说明。以下是他的探究过程，请你将其补充完整：
探究一：将左图中的大长方形分割变换成右图中的三个小长方形．
（1）左图中大长方形的面积可表示为：______．
（2）右图中三个小长方形的面积和可表示为：______．
（3）根据左右两个图形的面积关系得到的恒等式是：______．
探究二：如图①所示是一个长为
，宽为
的长方形，沿图中虚线用剪刀将其分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．
（1）请用两种不同的方法用含、的代数式表示图②中阴影部分（小正方形）的面积．
方法①______．
方法②______．
（2）根据图②中阴影部分面积的不同表示法，试写出
，
，
这三个代数式之间的等量关系式：______．
应用：根据探究二中的等量关系，解决如下问题：
若
，
，则求
的值．
探究一：将左图中的大长方形分割变换成右图中的三个小长方形．
（1）左图中大长方形的面积可表示为：______．
（2）右图中三个小长方形的面积和可表示为：______．
（3）根据左右两个图形的面积关系得到的恒等式是：______．
探究二：如图①所示是一个长为
，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．（1）请用两种不同的方法用含
、的代数式表示图②中阴影部分（小正方形）的面积．方法①______．
方法②______．
（2）根据图②中阴影部分面积的不同表示法，试写出
，，这三个代数式之间的等量关系式：______．应用：根据探究二中的等量关系，解决如下问题：
若
，，则求的值．
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