1 . 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（       ）

A．

B．

C．

D．

2 . 在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．

   

(1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是          ，若，则的长为         ；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

3 . 如图，，点D在边上，和相交于点O．

   

(1)求证：；
(2)若，求的度数．

4 . （1）如图（1），已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中a为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
       

5 . 如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在、上，且，、的延长线交于点M，、的延长线交于点N，连接．
       
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为6，，求的长．

6 . 已知正方形如图所示，连接其对角线，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作，交延长线于点P．

(1)求证：；
(2)若正方形的边长为4，求的面积；
(3)求证：．

7 . 新冠过后人们的生活逐渐恢复正常，家长们会选择去自然环境较好的地方“遛娃”．如图所示，是无动力游乐场内一个小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴中心B到地面的距离为．在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离为，点A到地面的距离为；当从A处摆动到处时，有．

(1)求到的距离；
(2)求到地面的距离．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，过点的直线平行于y轴，交直线于点D，点P是直线上一动点（异于点D），连接．

(1)求直线的解析式；
(2)设，求的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
(3)当的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角，请直接写出点C的坐标．

9 . 如图，，点C、F在线段AD上，且，．
求证：．

10 . 如图，正方形，点E、F、G、H分别在边上，若与的夹角为，，，则的长度为________．