1 . 把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于．

(1)求证：长方形各内角均为；
(2)若，，求的长．

2 . 如图，矩形沿着直线对折，点D恰好落与边上的点H重合，，．

   

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的面积．

3 . 如图1，在中，，，，以为边，在外作等边，D是的中点，连接并延长，交于点E．

(1)求边的长；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)将图1中的四边形折叠，折痕为，F在上，G在上：
①如图2，若使点C点A重合，直接写出的长是________；
②若使点C与的一边中点重合，直接写出的长是________．

4 . 如图是一张直角三角形纸片示意图，．

(1)现将该纸片对折，使边落在边上，的对应点为，折痕为，请用尺规作图作出及，并连接；（保留清晰作图痕迹，不必写作法与证明）
(2)在（1）的基础上，已知，请求出的长度．

5 . 实践操作
在矩形中，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
初步思考
（1）若点落在矩形的边上（如图①）．
①当点与点重合时，______；
②当点在上，点F在上时（如图②），当时，的长为_______．
深入探究
（2）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点M，在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．
拓展延伸
（3）若点落在矩形的内部，且点分别在边上，请求出的最小值．

6 . 如图，在中，，，把沿直线折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积．

7 . 在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长．

8 . 如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长．

9 . 几何与探究
【初步感知】（1）如图1，在中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长；
【深入探究】（2）如图2，将矩形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长；
【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．

   

10 . 如图，在矩形中，，，点E为边上一点，将沿折叠，使点D落在边上的点F处．

(1)求的长；
(2)求的长．