1 . 如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，连接．
       
(1)求作的切线，交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：，

2 . 已知：如图1，为的直径，点C为外一点，，连接交于D．
   
(1)若为的切线，求证：；
(2)如图2，若时，请用尺规作图在内部选一点P，使，以下是部分作图步骤：
第一步：过点O作的垂线，交于点E；
第二步：连接；
问题：
①请完成接下来的作图，并保留作图痕迹；
②在操作中得到的依据是　                  　．

3 . 如图，为的直径，点在上．
（1）尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点 （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究与的位置及数量关系，并证明你的结论．

4 . 如图，在的格点图中，为格点三角形，即顶点A、B、C均在格点上，利用无刻度直尺按要求完成下列各题，并保留作图痕迹；

(1)请在图①中边上找一点M，使：
(2)请在图②中内部（不含边界）找一点N，使．