1 . 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E

(1)求证，直线DE是⊙O的切线；
(2)尺规作图：过点B作直线DE的垂线，垂足为点F，（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若⊙O的半径为5，AD=8，求BF的长．

2 . 如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．

3 . 如图，已知△ABC的面积为4，D为AB的中点．
（1）尺规作图：作边AC的中点E，并连接DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，求△ADE的面积．
       

4 . 如图，为的直径，点在上．
（1）尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点 （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究与的位置及数量关系，并证明你的结论．

5 . 如图，△ABC中，D为BC边上的点，∠CAD＝∠CDA，E为AB边的中点．
（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连结EF，EF与BC是什么位置关系？为什么？
（3）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．

6 . 在学习三角形中位线定理时，小丽发现作以下辅助线能够证明三角形中位线定理．
   
已知：如图1，在中，点D，E分别是边的中点，连接．
求证：，．
证明：（小丽的辅助线作法）延长到F，使，连接…
(1)请在图1中画出小丽所说的辅助线，并补全三角形中位线定理的证明过程；
(2)三角形中位线定理应用：如图2，在梯形中， ，点E，F分别是的中点，则线段之间的数量关系是                                                ．

7 . 实践操作：如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1．

(1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且；
(2)仅用无刻度直尺作出的中位线，使得点分别在上，并保留作图痕迹．

8 . 如图，△ABC中，AB＝BC，D在BC的延长线上，连接AD，E为AD中点．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线，与线段AC交于点F，连接EF；
（2）根据（1）中所作的图形，证明：EF∥BC．

9 . 在正方形中，点P是射线上一个动点，连接，，点M、N分别为、的中点，连接交于点Q．
   
(1)如图1，当点P与点B重合时，的形状是　 　；
(2)当点P在线段的延长线上时，如图2．
①依题意补全图2；
②判断的形状并加以证明；
(3)点与点P关于直线对称，且点在线段上，连接，若点Q恰好在直线上，正方形的边长为2，请写出求此时长的思路（可以不写出计算结果）．

10 . 已知，如图，在正方形中，点P在射线上，连接，，M、N分别为、中点，连接交于点Q．

(1)如图1，当点P与点D重合时，直接写出的度数；
(2)当点P在线段的延长线上时，
①依题意补全图2；
②在点P运动过程中，请你对线段与的数量关系进行猜想，并说明理由．
(3)若过点B作直线的垂线交其于点H，连接，若，请直接写出线段长度的最大值．