1 . 如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：．

2 . 如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形．

3 . 下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个内角为45°角的菱形”的尺规作图过程．
   
已知：矩形．
求作：菱形，使．
作法：
①作的角平分线；
②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点E；
③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连结、．
则四边形即为所求作的菱形．
(1)请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)填空：
①四边形是菱形的依据__________________；
②连结、，四边形的形状是______，依据是__________________．

4 . 利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

5 . 如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH．

(1)猜想四边形EFGH是什么特殊四边形？
(2)对你的猜想给予证明．

6 . 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，垂足为E，，求的度数．

7 . 如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．

8 . 如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：∠ABF＝∠CDE．

9 . 如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．求证：∠BDA =∠EDA．

10 . 如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M．
（1）求证：BE＝DE；
（2）试判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由．