1 . 数学实践课上，老师组织同学们开展以“图形的旋转”为主题的探究活动，已知为等腰直角三角形，过点A的直线，射线绕点B旋转交于点M，过点M作，交直线于点N，探究线段和有怎样的数量关系？
(1)特例初探：
如图1，当时，点N与点A重合，猜想线段和间的数量关系，并证明你的结论；

   

(2)规律探究：
如图2所示，当与不垂直时，（1）的结论是否仍然成立？请猜想并证明你的结论；

   

(3)拓展应用：
已知：中，，过点O，E分别作，，垂足分别为O，E，与交于点F，连接，若，．
求：的面积．

   

3 . 【特例感知】如图，点是正方形对角线上一点，于点，于点.
（1）求证：四边形是正方形；
（2）=            ；
【规律探究】将正方形绕点旋转得到图，连接，，.
（3）的比值是否会发生变化？说明理由；
【拓展应用】如图，在图的基础上，点，，分别是，，的中点；
（4）四边形是否是正方形?说明理由.

4 . 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．

       

特例感知：
（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．

5 . 【探索发现】
“旋转”是一种重要的图形变换，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决几何问题的常用方法．如图1，在正方形中，点在上，点在上，．
某同学进行如下探索：
第一步：将绕点顺时针旋转90°，得到，且、、三点共线；
第二步：证明≌；
第三步：得到和的大小关系，以及、、之间的数量关系．
请完成第二步的证明，并写出第三步的结论．
【问题解决】
如图2，在正方形中，点在上，且不与、重合，将绕点顺时针旋转，旋转角度小于90°，得到，当、、三点共线时，这三点所在直线与交于点，要求使用无刻度的直尺与圆规找到点位置，某同学做法如下：连接，与交于点，以为圆心，为半径画圆弧，与相交于一点，该点即为所求的点．
请证明该同学的做法．（前面【探索发现】中的结论可直接使用，无需再次证明）
【拓展运用】
如图3，在边长为2的正方形中，点在上，与交于点，过点作的垂线，交于点，交于点，设（），，直接写出关于的函数表达式：_______________．