1 . 已知函数f（x）的定义域是使得解析式有意义的x集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则称此函数为“正函数”．
（1）证明函数f（x）＝lg（x²+1）+1是“正函数”；
（2）如果函数不是“正函数”，求实数a的取值范围；
（3）如果函数f（x）＝ax²+ax+2是“正函数”，求实数a的取值范围．

2 . 函数的定义域为，且对一切，都有，当时，总有.
（1）求的值；
（2）判断单调性并证明；
（3）若，解不等式.

3 . 证明：
（1）若，则.
（2）若，则.

4 . 已知函数是定义在上的非常值函数，对任意，满足.
（1）求，的值；
（2）求证：对任意恒成立；
（3）若当时，，求证：函数在上是增函数.

5 . [“数学抽象、逻辑推理”素养]设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．求证：给定一个上的单峰函数，对任意的，，且，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间．

6 . 如果对于函数的定义域内任意的，，都有成立，那么就称函数是定义域上的“平缓函数”．
（1）判断函数，是否是“平缓函数”；
（2）若函数是闭区间上的“平缓函数”，且，证明：对于任意的，，都有成立．
（注：可参考绝对值的基本性质①，②）

7 . 已知函数，.
（1）讨论的奇偶性；
（2）若，用定义证明：在上是增函数.

8 . 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．