1 . 如图所示，椭圆的离心率为，过点作直线交椭圆于不同两点，．

（1）求椭圆的方程；
（2）①设直线的斜率为，求出与直线平行且与椭圆相切的直线方程（用表示）；
②若，为椭圆上的动点，求四边形面积的最大值．

2 . 在平面直角坐标系xOy中已知椭圆，焦点在x轴上的椭圆与的离心率相同，且椭圆的外切矩形ABCD（两组对边分别平行于x轴、y轴）的顶点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）设为椭圆上一点（不与点A、B、C、D重合）.
①若直线：，求证：直线l与椭圆相交；
②记①中的直线l与椭圆C₁的交点为S、T，求证的面积为定值.

3 . 已知椭圆C：的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于P、Q，O为坐标原点，若，求证为定值．

4 . 已知椭圆C:离心率，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ） 如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．       

5 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P

（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：；
（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．